Trong các trường hợp sau, làm thế nào để xác định được tọa độ của điểm:
LG a
Là hình chiếu của một điểm trên một mặt phẳng cho trước.
Lời giải chi tiết:
Để xác định tọa độ hình chiếu của điểm A(x0,y0,z0) lên mặt phẳng (α):Ax+By+Cz+D=0 ta làm như sau:
+ Viết phương trình đường thẳng Δ đi qua A và Δ vuông góc với (α), khi đó (α) có phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}x = {x_0} + At\\y = {y_0} + Bt\\z = {z_0} + Ct\end{array} \right.\)
Trong đó vectơ \(\overrightarrow n = \left( {A;B;C} \right)\) là vectơ pháp tuyến của (α) lại chính là vectơ chỉ phương của Δ (vì Δ ⊥ (α)).
+ Tìm tọa độ giao điểm của Δ và (α) là nghiệm của hệ \(\left\{ \begin{array}{l}x = {x_0} + At\\y = {y_0} + Bt\\z = {z_0} + Ct\\Ax + By + Cz + D = 0\end{array} \right.\)
Giao điểm tìm được chính là hình chiếu của A lên mp(α).
LG b
Là hình chiếu của một điểm trên một đường thẳng cho trước.
Lời giải chi tiết:
Để tìm tọa độ hình chiếu của điểm A(x0,y0,z0) lên đường thẳng \(d:\left\{ \begin{array}{l}x = {x_1} + at\\y = {y_1} + bt\\z = {z_1} + ct\end{array} \right.\) ta làm như sau:
+ Viết phương trình mặt phẳng đi qua A(x0,y0,z0) và vuông góc với d.
Đó là mặt phẳng đi qua A(x0,y0,z0) và nhận vectơ chỉ phương của d là \(\overrightarrow u = \left( {a;b;c} \right)\) là vectơ pháp tuyến, nên mặt phẳng đó có phương trình là:
a(x-x0 )+b(y-y0 )+c(z-z0 )=0 hay \(ax + by + cz + d = 0\).
+ Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng trên ta được hình chiếu vuông góc của A lên d.
Tọa độ giao điểm là nghiệm của hệ \(\left\{ \begin{array}{l}x = {x_1} + at\\y = {y_1} + bt\\z = {z_1} + ct\\ax + by + cz + d = 0\end{array} \right.\)
LG c
Đối xứng với một điểm cho trước qua một mặt phẳng cho trước.
Lời giải chi tiết:
Để tìm điểm đối xứng A’ của A(x0,y0,z0) qua mặt phẳng (α):Ax+By+Cz+D=0 ta làm như sau:
+ Tìm hình chiếu vuông góc H của A lên mp(α):
+ Vì A’ đối xứng với A qua \(\left( \alpha \right)\) nên H là trung điểm của đoạn AA’, từ đó ta tìm được tọa độ A’ qua hệ thức: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_A} + {x_{A'}} = 2{x_H}\\{y_A} + {y_{A'}} = 2{y_H}\\{z_A} + {z_{A'}} = 2{z_H}\end{array} \right.\)
