Câu 1
Cho ba điểm M(2; 0; 0), N(0; - 3; 0), P(0; 0; 4). Nếu MNPQ là một hình bình hành thì tọa độ điểm Q là:
(A) (-2; -3; 4) (B) (3; 4; 2)
(C) (2; 3; 4) (D) (-2; -3; -4)
Lời giải chi tiết:
MNPQ là hình bình hành
⇔→MN=→QP ⇔{0−2=0−xQ−3−0=0−yQ0−0=4−zQ ⇔{xQ=2yQ=3zQ=4
Vậy Q(2; 3; 4).
Chọn (C).
Câu 2
Cho ba điểm A(1;2;0),B(1;0;−1),C(0;−1;2). Tam giác ABC là:
(A) Tam giác cân đỉnh A;
(B) Tam giác vuông đỉnh A;
(C) Tam giác đều;
(D) Không phải như (A), (B), (C).
Lời giải chi tiết:
Ta có
AB=√(1−1)2+(0−2)2+(−1−0)2=√5AC=√(0−1)2+(−1−2)2+(2−0)2=√14BC=√(0−1)2+(−1−0)2+(2+1)2=√11⇒AB2+BC2>AC2
AC>BC>AB
Chọn (D)
Câu 3
Cho tam giác ABC có A=(1;0;1), B=(0;2;3), C(2;1;0). Độ dài đường cao tam giác kẻ từ C là:
(A) √26 (B) √262
(C) √263 (D) 26
Lời giải chi tiết:
Ta có: →AB=(−1;2;2),→AC=(1;1;−1)
Khoảng cách từ C đến đường thẳng AB là: h=|[→AC,→AB]||→AB|=√263.
Chọn (C).
Câu 4
Ba đỉnh của một hình bình hành có tọa độ là (1;1;1);(2;3;4);(6;5;2). Diện tích hình bình hành đó bằng:
(A) 2√83 (B) √83
(C) 83 (D) √832
Lời giải chi tiết:
A(1; 1; 1), B(2; 3; 4), C(6; 5; 2).
SABCD=2SABC=|[→AB,→AC]| =2√83.
Chọn (A).
Câu 5
Cho A(1;0;0);B(0;1;0);C(0;0;1) và D(−2;1;−1). Thể tích của tứ diện ABCD là:
(A) 1 (B) 2 (C) 13 (D) 12
Lời giải chi tiết:
→AB(−1;1;0),→AC(−1;0;1)⇒[→AB;→AC]=(|1001|;|0−11−1|;|−11−10|)=(1;1;1)→AD(−3;1;−1)⇒[→AB,→AC].→AD=1.(−3)+1.1+1.(−1)=−3⇒VABCD=16|[→AB,→AC].→AD|=36=12.
Chọn D
Câu 6
Cho A(−1;−2;4);B(−4;−2;0);C(3;−2;1) và D(1;1;1). Độ dài đường cao của tứ diện ABCD kẻ từ đỉnh D là:
(A) 3 (B) 1 (C) 2 (D) 12
Lời giải chi tiết:
Độ dài đường cao của tứ diện ABCD kẻ từ D là khoảng cách từ D đến mp(ABC).
Ta có:
→AB(−3;0;−4),→AC(4;0;−3)⇒[→AB;→AC]=(|0−40−3|;|−4−3−34|;|−3040|)=(0;−25;0)=−25(0;1;0)
Suy ra mặt phẳng (ABC) đi qua A và nhận →n=(0;1;0) là vectơ pháp tuyến.
Phương trình mặt phẳng (ABC): y+2=0.
⇒h=d(D;(ABC))=|1+2|√1=3.
Chọn (A).
Câu 7
Cho bốn điểm A(1;1;1),B(1;2;1),C(1;1;2) và D(2;2;1). Tâm I mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD là:
(A) (32,−32,32) (B) (32,32,32)
(C) (3;3;3) (D) (3;−3;3).
Lời giải chi tiết:
Phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD có dạng
x2+y2+z2−2ax−2by−2cz+d=0(1)
Thay tọa độ của A, B, C, D vào (1) ta được hệ phương trình
{3−2a−2b−2c+d=06−2a−4b−2c+d=06−2a−2b−4c+d=09−4a−4b−2c+d=0⇔{a=b=c=32d=6⇒I(32;32;32).
Chọn (B).
Câu 8
Bán kính mặt cầu tâm I(3;3;-4) tiếp xúc với trục Oy bằng:
(A) 5 (B) 4 (C) √5 (D) 52.
Lời giải chi tiết:
Hình chiếu của I trên trục Oy là I’(0; 3; 0).
Khoảng cách từ điểm I đến trục Oy bằng R=II′=√(−3)2+42=5.
Chọn (A).
Câu 9
Mặt cầu tâm I(2;1;−1) tiếp xúc với mặt phẳng tọa độ (Oyz) có phương trình là:
(A) (x−2)2+(y−1)2+(z+1)2=4;
(B) (x−2)2+(y−1)2+(z+1)2=1;
(C) (x+2)2+(y+1)2+(z−1)2=4;
(D) (x+2)2+(y−1)2+(z+1)2=2.
Lời giải chi tiết:
Mp(Oyz) có phương trình x = 0.
Khoảng cách từ I đến mp(Oyz) là R=|2|√12+02+02=2.
Vậy phương trình mặt cầu cần tìm là:
(x−2)2+(y−1)2+(z+1)2=4
Chọn (A).
Câu 10
Cho ba điểm A(1;1;3),B(−1;3;2) và C(−1;2;3).Mặt phẳng (ABC) có phương trình là:
(A) x+2y+2z−3=0
(B) x−2y+3z−3=0;
(C) x+2y+2z−9=0;
(D) x2+2y+2z+9=0.
Lời giải chi tiết:
Mp(ABC) có vectơ pháp tuyến →n=[→AB,→AC]=(1;2;2).
Vậy phương trình mặt phẳng (ABC) là: x+2y+2z−9=0
Chọn (C).
Câu 11
Cho ba điểm A(1;0;0),B(0;2;0),C(0;0;3). Phương trình nào sau đây không phải là phương trình mặt phẳng (ABC)?
(A) x+y2+z3=1;
(B) 6x+3y+2z−6=0;
(C) 6x+3y+2z+6=0;
(D) 12x+6y+4z−12=0.
Phương pháp giải:
Lời giải chi tiết:
Mp(ABC) x1+y2+z3=1
Chọn (C).
Câu 12
Cho hai điểm A(1;3;−4) và B(−1;2;2). Phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn AB là:
(A) 4x+2y−12z−17=0;
(B) 4x+2y+12z−17=0;
(C) 4x−2y−12z−17=0;
(D) 4x−2y+12z+17=0.
Lời giải chi tiết:
→AB=(−2;−1;6).
Trung điểm AB là I(0;52;−1).
Phương trình mặt phẳng tung trực của AB đi qua I và có vectơ pháp tuyến là →n=→AB nên có dạng: −2(x−0)−(y−52)+6(z+1)=0⇔4x+2y−12z−17=0.
Chọn (A).
Câu 13
Cho A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c), a, b, c là những số dương thay đổi sao cho 1a+1b+1c=2. Mặt phẳng (ABC) luôn đi qua một điểm cố định có tọa độ là:
(A) (1; 1; 1) (B) (2; 2; 2)
(C) (12,12,12) (D) (−12,−12,−12).
Lời giải chi tiết:
Phương trình mp(ABC): xa+yb+zc=1.
Mp(ABC) đi qua điểm (12;12;12) cố định.
Chọn (C).
Câu 14
Cho điểm A(−1;2;1) và hai mặt phẳng (P):2x+4y−6z−5=0 và (Q):x+2y−3z=0. Mệnh đề nào sau đây là đúng?
(A) Mp(Q) qua A và song song với (P);
(B) Mp(Q) không qua A và song song với (P);
(C) Mp(Q) qua A và không song song với (P);
(D) Mp(Q) không qua A và không song song với (P).
Lời giải chi tiết:
A∈(Q) và (Q) // (P).
Chọn (A).
Câu 15
Cho điểm A(1;2;−5). Gọi M, N, P là hình chiếu của A lên ba trục Ox, Oy, Oz. Phương trình mặt phẳng (MNP) là:
(A) x+y2−z5=1; (B) x+y2+z5=1;
(C) x+y2−z5=0; (D) x+y2−z5+1=0.
Lời giải chi tiết:
Ta có M(1;0;0);N(0;2;0),P(0;0;−5).
Mp(MNP): x1+y2+z−5=1.
Chọn (A).
Câu 16
Cho mặt cầu (S):x2+y2+z2−2(x+y+z)−22=0 và mặt phẳng (P): 3x−2y+6z+14=0. Khoảng cách từ tâm I của mặt cầu (S) tới mặt phẳng (P) là:
(A 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4.
Lời giải chi tiết:
Tâm I(1; 1; 1).
d(I;(P))=|3−2+6+14|√9+4+36=3.
Chọn (C).
Câu 17
Mặt phẳng (P) cắt ba trục Ox, Oy, Oz tại A, B, C, trọng tâm tam giác ABC là G(−1;−3;2). Phương trình mặt phẳng (P) là:
(A) x+y−z−5=0;
(B) 2x−3y−z−1=0;
(C) x+3y−2z+1=0;
(D) 6x+2y−3z+18=0.
Lời giải chi tiết:
Giả sử A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c) thì G(a3;b3;c3)⇒a=−3,b=−9,c=6.
Mp(ABC): x−3+y−9+z6=1⇔6x+2y−3z+18=0.
Chọn (D).
Câu 18
Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh bằng 1. Gọi M là trung điểm cạnh BC. Tính khoảng cách từ A tới mặt phẳng (A’MD).
Một học sinh làm như sau:
Bước 1: Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ. Kéo dài DM cắt AB tại E. Khi đó
A=(0;0;0),E=(2;0;0)D=(0;1;0),A′=(0;0;1)
Bước 2. Viết phương trình mặt phẳng (A’MD):
x2+y1+z1=1⇔x+2y+2z−2=0.
Bước 3. Khoảng cách d(A;(A′MD))=|−2|√1+4+4=23.
Bài giải trên đúng hay sai? Nếu sai thì sai ở bước nào?
(A) Đúng; (B) Sai ở bước 1;
(C) Sai ở bước 2; (D) Sai ở bước 3.
Lời giải chi tiết:
Chon A
Câu 19
Cho hai điểm A(1;−1;5) và B(0;0;1). Mặt phẳng (P) chứa A, B và song song với Oy có phương trình là:
(A) 4x−z+1=0
(B) 4x+y−z+1=0
(C) 2x+z−5=0
(D) y+4z−1=0.
Lời giải chi tiết:
Mp(P) qua A và có vectơ pháp tuyến →n=[→AB;→j] với →j=(0;1;0).
→AB(−1;1;−4)⇒[→AB;→j]=(|1−410|;|−4−100|;|−1101|)=(4;0;−1)
Chon A
Câu 20
Mặt phẳng (P) chứa trục Oz và điểm A(2;−3;5) có phương trình là:
(A) 2x+3y=0; (B) 2x−3y=0;
(C) 3x+2y=0; (D) 3x−2y+z=0.
Lời giải chi tiết:
Mp(P) qua O và có vectơ pháp tuyến →n=[→OA,→k] với \overrightarrow k = \left( {0;0;1} \right).
\eqalign{ & \overrightarrow {OA} \left( {2; - 3;5} \right) \cr & \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {OA} ;\overrightarrow k } \right] = \left( {\left| \matrix{ - 3\,\,\,\,5 \hfill \cr 0\,\,\,\,\,\,\,\,1 \hfill \cr} \right|;\left| \matrix{ 5\,\,\,\,\,\,2 \hfill \cr 1\,\,\,\,\,\,\,0 \hfill \cr} \right|;\left| \matrix{ 2\,\,\,\, - 3 \hfill \cr 0\,\,\,\,\,\,\,0 \hfill \cr} \right|} \right) = \left( { - 3; - 2;0} \right) \cr}
Chọn C
Câu 21
Cho mặt phẳng (P) có phương trình x - y - 1 = 0. Điểm H\left( {2; - 1; - 2} \right) là hình chiếu vuông góc của gốc tọa độ O trên một mặt phẳng (Q). Góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) là:
(A) {30^0} (B) {45^0} (C) {60^0} (D) {90^0}
Lời giải chi tiết:
mp(Q) có vectơ pháp tuyến \overrightarrow m = \overrightarrow {OH} = \left( {2; - 1; - 2} \right)
Mp(P) có vectơ pháp tuyến \overrightarrow n = \left( {1; - 1;0} \right).
\varphi là góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) thì:
\cos \varphi = {{\left| {\overrightarrow m .\overrightarrow n } \right|} \over {\left| {\overrightarrow m } \right|.\left| {\overrightarrow n } \right|}} = {{\left| {2 + 1} \right|} \over {\sqrt {4 + 1 + 4} .\sqrt {1 + 1 + 0} }} = {1 \over {\sqrt 2 }} \Rightarrow \varphi = {45^0}.
Chọn (B).
Câu 22
Cho điểm A(1; 2; 3) và đường thẳng d:{x \over 3} = {{y - 1} \over 4} = z + 3. Phương trình mặt phẳng (A,d) là:
(A) 23x + 17y - z + 14 = 0
(B) 23x - 17y - z + 14 = 0;
(C) 23x + 17y + z - 60 = 0;
(D) 23x - 17y + z - 14 = 0.
Lời giải chi tiết:
d có vectơ chỉ phương \overrightarrow u = \left( {3,4,1} \right) và đi qua M\left( {0,1, - 3} \right).
Mp(A, d) qua A và có vectơ pháp tuyến \overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {AM} ,\overrightarrow u } \right].
Vậy phương trình mặt phẳng cần tìm là:
23x - 17y - z + 14 = 0
Chọn (B).
Câu 23
Cho hai đường thẳng
{d_1}:{{x - 1} \over 1} = {y \over 2} = {{z - 3} \over 3}\,\,;\,\,\,{d_2}:\left\{ \matrix{ x = 2t \hfill \cr y = 1 + 4t \hfill \cr z = 2 + 6t. \hfill \cr} \right.
Khẳng định nào sau đây là đúng?
(A) {d_1},{d_2} cắt nhau; (B) {d_1},{d_2} trùng nhau;
(C) {d_1}//{d_2}; (D) {d_1},{d_2} chéo nhau.
Lời giải chi tiết:
{d_1},{d_2} có cùng vectơ chỉ phương \overrightarrow u = \left( {1,2,3} \right) và A\left( {1,0,3} \right) \in {d_1}, nhưng A \notin {d_2}. Vậy {d_1} // {d_2}
Chọn (C).
Câu 24
Cho mặt phẳng \left( \alpha \right):x + 3y + z + 1 = 0 và đường thẳng
d:\left\{ \matrix{ x = 1 + t \hfill \cr y = 2 - t \hfill \cr z = 2 - 3t. \hfill \cr} \right. Tọa độ giao điểm A của d và \left( \alpha \right) là:
(A) A(3; 0; 4) (B) A\left( {3; - 4;0} \right)
(C) A\left( { - 3;0;4} \right) (D) A\left( {3;0; - 4} \right).
Lời giải chi tiết:
Thay x, y, z từ d vào \left( \alpha \right) ta có: 1 + t + 3\left( {2 - t} \right) + 2 - 3t + 1 = 0 \Leftrightarrow t = 2.
Vậy A\left( {3,0, - 4} \right).
Chọn (D).
Câu 25
Cho đường thẳng
d:\left\{ \matrix{ x = 2t \hfill \cr y = 1 - t \hfill \cr z = 2 + t. \hfill \cr} \right.
Phương trình nào sau đây cũng là phương trình của đường thẳng d?
(A)
\left\{ \matrix{ x = 2 - 2t \hfill \cr y = - t \hfill \cr z = 3 + t\,; \hfill \cr} \right.
(B)
\left\{ \matrix{ x = 4 - 2t \hfill \cr y = - 1 + t \hfill \cr z = 4 - t\,; \hfill \cr} \right.
(C)
\left\{ \matrix{ x = 4 + 2t \hfill \cr y = 1 - t \hfill \cr z = 4 + t\,; \hfill \cr} \right.
(D)
\left\{ \matrix{ x = 2t \hfill \cr y = 1 + t \hfill \cr z = 2 + t\,. \hfill \cr} \right.
Lời giải chi tiết:
d đi qua M\left( {4, - 1,4} \right) có vectơ chỉ phương \overrightarrow u = \left( {2; - 1;1} \right).
Chọn (B).
Câu 26
Cho hai điểm A\left( {2;3; - 1} \right),B\left( {1;2;4} \right) và ba phương trình sau:
\left( I \right)\,\,\left\{ \matrix{ x = 2 - t \hfill \cr y = 3 - t \hfill \cr z = - 1 + 5t\,; \hfill \cr} \right.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( {II} \right)\,\,{{x - 2} \over 1} = {{y - 3} \over 1} = {{z + 1} \over { - 5}};\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( {III} \right)\,\,\left\{ \matrix{ x = 1 - t \hfill \cr y = 2 - t \hfill \cr z = 4 + 5t\,. \hfill \cr} \right.
Mệnh đề nào sau đây là đúng?
(A) Chỉ có (I) là phương trình của đường thẳng AB;
(B) Chỉ có (III) là phương trình của đường thẳng AB;
(C) Chỉ có (I) và (II) là phương trình của đường thẳng AB;
(D) Cả (I), (II) và (III) là phương trình của đường thẳng AB.
Lời giải chi tiết:
Đường thẳng AB có vectơ chỉ phương \overrightarrow {AB} = \left( { - 1, - 1,5} \right).
Chọn (D).
Câu 27
Cho ba điểm A(1; 3; 2), B(1; 2; 1), C(1; 1; 3). Viết phương trình đường thẳng \Delta đi qua trọng tâm G của tam giác ABC và vuông góc với mp(ABC).
Một học sinh làm như sau:
Bước 1: Tọa độ trong tâm G của tam giác ABC là
\left\{ \matrix{ {x_G} = {{1 + 1 + 1} \over 3} = 1 \hfill \cr {y_G} = {{3 + 2 + 1} \over 3} = 2 \hfill \cr {z_G} = {{2 + 1 + 3} \over 3} = 2. \hfill \cr} \right.
Bước 2: Vectơ pháp tuyến của mp(ABC) là \overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( { - 3;1;0} \right).
Bước 3:Phương trình tham số của đường thẳng \Delta là:
\left\{ \matrix{ x = 1 - 3t \hfill \cr y = 2 + t \hfill \cr z = 2. \hfill \cr} \right.
Bài giải trên đúng hay sai? Nếu sai thì sai ở bước nào?
(A) Đúng; (B) Sai ở bước 1;
(C) Sai ở bước 2; (D) Sai ở bước 3.
Lời giải chi tiết:
\overrightarrow {AB} = \left( {0, - 1, - 1} \right),\overrightarrow {AC} = \left( {0, - 2,1} \right),\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( { - 3,0,0} \right).
Chọn (C).
Câu 28
Gọi d là đường thẳng đi qua gốc tọa độ O, vuông góc với trục Ox và vuông góc với đường thẳng
\Delta :\left\{ \matrix{ x = 1 + t \hfill \cr y = 2 - t \hfill \cr z = 1 - 3t. \hfill \cr} \right.
Phương trình của d là:
(A)
\left\{ \matrix{ x = t \hfill \cr y = 3t \hfill \cr z = - t\,; \hfill \cr} \right.
(B)
\left\{ \matrix{ x = 1 \hfill \cr y = - 3t \hfill \cr z = - t\,; \hfill \cr} \right.
(C) {x \over 1} = {y \over 3} = {z \over { - 1}};
(D)
\left\{ \matrix{ x = 0 \hfill \cr y = - 3t \hfill \cr z = t\,. \hfill \cr} \right.
Lời giải chi tiết:
Ox có vectơ chỉ phương \overrightarrow i = \left( {1,0,0} \right).
\Delta có vectơ chỉ phương \overrightarrow u = \left( {1, - 1, - 3} \right).
d có vectơ chỉ phương \overrightarrow a = \left[ {\overrightarrow i ,\overrightarrow u } \right] = \left( {0,3, - 1} \right).
Chọn (D).
Câu 29
Cho đường thẳng
d:\left\{ \matrix{ x = 3 + 4t \hfill \cr y = - 1 - t \hfill \cr z = 4 + 2t\, \hfill \cr} \right. và mặt phẳng \left( P \right):x + 2y - z + 3 = 0. Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào đúng?
(A) d song song với (P); (B) d cắt (P);
(C) d vuông góc với (P); (D) d nằm trên (P).
Lời giải chi tiết:
A\left( {3, - 1,4} \right),B\left( { - 1,0,2} \right) \in d và A,B \in \left( P \right).
Chọn (D).
Câu 30
Cho điểm A(1; 1; 1) và đường thẳng
d:\left\{ \matrix{ x = 6 - 4t \hfill \cr y = - 2 - t \hfill \cr z = - 1 + 2t\,. \hfill \cr} \right.
Hình chiếu của A trên d có tọa độ là
(A) \left( {2; - 3;1} \right); (B) \left( {2; - 3; - 1} \right);
(C) (2; 3; 1); (D) \left( { - 2;3;1} \right).
Lời giải chi tiết:
Giả sử H\left( {6 - 4t, - 2 - t, - 1 + 2t} \right) là hình chiếu của A trên d. Ta có \overrightarrow {AH} vuông góc với \overrightarrow u = \left( { - 4, - 1,2} \right) (là vectơ chỉ phương của d).
Ta có \overrightarrow {AH} = \left( {5 - 4t, - 3 - t, - 2 + 2t} \right).
\overrightarrow {AH} .\overrightarrow u = 0 \Leftrightarrow - 4\left( {5 - 4t} \right) + 3 + t + 2\left( { - 2 + 2t} \right) = 0 \Leftrightarrow t = 1.
Vậy H\left( {2, - 3,1} \right).
Chọn (A).
Câu 31
Cho tứ diện ABCD có A(1; 0; 0), B(1; 1; 0), C(0; 1; 0) và D(0; 0; 2).
Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và BD.
Một học sinh làm như sau:
Bước 1: \overrightarrow {AC} = \left( { - 1;1;0} \right),\,\,\overrightarrow {BD} = \left( { - 1; - 1;2} \right),\,\,\overrightarrow {AB} = \left( {0;1;0} \right).
Bước 2: \left[ {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {BD} } \right] = \left( {2;2;2} \right).
Bước 3: d\left( {AC,BD} \right) = {{\left| {\left[ {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {BD} } \right].\overrightarrow {AB} } \right|} \over {\left| {\left[ {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {BD} } \right]} \right|}} = {2 \over {\sqrt {12} }} = {{\sqrt 3 } \over 3}.
Bài giải trên đúng hay sai? Nếu sai thì sai ở bước nào?
(A) Đúng; (B) Sai ở bước 1;
(C) Sai ở bước 2; (D) Sai ở bước 3.
Lời giải chi tiết:
Bài toán trên đúng.
Chọn (A).
Câu 32
Cho \left| {\overrightarrow u } \right| = 2,\left| {\overrightarrow v } \right| = 1,\left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right) = {\pi \over 3}. Góc giữa vectơ \overrightarrow u và \overrightarrow u - \overrightarrow v bằng:
(A) {30^0} (B) {45^0}
(C) {60^0} (D) {90^0}
Lời giải chi tiết:
Ta có
\eqalign{ & \overrightarrow u .\overrightarrow v = \left| {\overrightarrow u } \right|.\left| {\overrightarrow v } \right|\cos \left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right) = 2.1.{1 \over 2} = 1 \cr & \Rightarrow \overrightarrow v \left( {\overrightarrow u - \overrightarrow v } \right) = \overrightarrow u .\overrightarrow v - {\left| {\overrightarrow v } \right|^2} = 1 - 1 = 0 \cr & \Rightarrow \overrightarrow v \bot \left( {\overrightarrow u - \overrightarrow v } \right). \cr}
Chọn (D).
Câu 33
Cho \left| {\overrightarrow u } \right| = 2,\left| {\overrightarrow v } \right| = 5,\left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right) = {\pi \over 6}. Độ dài vectơ \left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right] bằng:
(A) 10 (B) 5;
(C) 8; (D) 5\sqrt 3
Lời giải chi tiết:
\left| {\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right]} \right| = \left| {\overrightarrow u } \right|.\left| {\overrightarrow v } \right|.\sin \left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right) = 2.5.{1 \over 2} = 5.
Chọn (B).
Câu 34
Mặt phẳng 2x - 3y + z - 1 = 0 cắt các trục tọa độ tại các điểm:
(A) \left( {{1 \over 2};0;0} \right)\,\,,\,\,\left( {0; - {1 \over 3};0} \right)\,\,,\,\,\left( {0;0;1} \right);
(B) \left( {1;0;0} \right)\,\,,\,\,\left( {0;{1 \over 3};0} \right)\,\,,\,\,\left( {0;0;1} \right);
(C) \left( {{1 \over 2};0;0} \right)\,\,,\,\,\left( {0;{1 \over 3};0} \right)\,\,,\,\,\left( {0;0;1} \right);
(D) \left( {{1 \over 2};0;0} \right)\,\,,\,\,\left( {0; - {1 \over 3};0} \right)\,\,,\,\,\left( {0;0; - 1} \right).
Lời giải chi tiết:
\eqalign{ & y = z = 0 \Rightarrow x = {1 \over 2},x = z = 0 \Rightarrow y = - {1 \over 3}. \cr & x = y = 0 \Rightarrow z = 1. \cr}
Chọn (A).
Câu 35
Cho đường thẳng
d:\left\{ \matrix{ x = - {9 \over 5} - t \hfill \cr y = 5t \hfill \cr z = {7 \over 5} + 3t\, \hfill \cr} \right. và mặt phẳng \left( P \right):3x - 2y + 3z - 1 = 0. Gọi d’ là hình chiếu của d trên (P). Trong các vectơ sau, vectơ nào không phải là vectơ chỉ phương của d’ ?
(A) \left( {5; - 51;39} \right);
(B) \left( {10; - 102; - 78} \right);
(C) \left( { - 5;51;39} \right);
(D) \left( {5;51;39} \right).
Lời giải chi tiết:
Vì ba vectơ của (A), (B), (C) cùng phương nên chọn (D).
Câu 36
Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng 1. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của A’B’, BC, DD’. Chứng minh rằng AC' \bot \left( {MNP} \right).
Một học sinh làm như sau:
Bước 1: Chọn hệ trục tọa độ như hình 71;
Khi đó A(0; 0; 0), C’(1; 1; 1),
M = \left( {{1 \over 2};0;1} \right),N\left( {1;{1 \over 2};0} \right),P\left( {0;1;{1 \over 2}} \right).
Bước 2: \overrightarrow {AC'} = \left( {1;1;1} \right),\overrightarrow {MN} = \left( {{1 \over 2};{1 \over 2}; - 1} \right),\overrightarrow {MP} = \left( { - {1 \over 2};1; - {1 \over 2}} \right).
Bước 3:
\left\{ \matrix{ \overrightarrow {AC'} .\overrightarrow {MN} = 0 \hfill \cr \overrightarrow {AC'} .\overrightarrow {MP} = 0 \hfill \cr} \right. \Rightarrow AC' \bot \left( {MNP} \right).
Bài giải trên đúng hay sai? Nếu sai thì sai ở bước nào?
(A) Đúng; (B) Sai ở bước 1;
(C) Sai ở bước 2; (D) Sai ở bước 3.
Lời giải chi tiết:
Bài toán trên giải đúng
chọn A
Câu 37
Cho đường thẳng
d:\left\{ \matrix{ x = 0 \hfill \cr y = t \hfill \cr z = 2 - t. \hfill \cr} \right.
Phương trình đường vuông góc chung của d và trục Ox là:
(A)
\left\{ \matrix{ x = 1 \hfill \cr y = t \hfill \cr z = t\,; \hfill \cr} \right.
(B)
\left\{ \matrix{ x = 0 \hfill \cr y = 2t \hfill \cr z = t\,; \hfill \cr} \right.
(C)
\left\{ \matrix{ x = 0 \hfill \cr y = 2 - t \hfill \cr z = t\,; \hfill \cr} \right.
(D)
\left\{ \matrix{ x = 0 \hfill \cr y = t \hfill \cr z = t\,. \hfill \cr} \right.
Lời giải chi tiết:
Phương trình tham số của trục Ox là
\left\{ \matrix{ x = t \hfill \cr y = 0 \hfill \cr z = 0 \hfill \cr} \right.
Lấy P\left( {0,t,2 - t} \right) \in d và Q'\left( {t',0,0} \right) \in {\rm{Ox}}{\rm{.}}
\overrightarrow {PQ} = \left( {t', - t,t - 2} \right), d có vectơ chỉ phương \overrightarrow u = \left( {0,1, - 1} \right).
PQ là đường vuông góc chung của d và trục Ox
\Leftrightarrow \left\{ \matrix{ \overrightarrow {PQ} .\overrightarrow u = 0 \hfill \cr \overrightarrow {PQ} .\overrightarrow i = 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ - t - t + 2 = 0 \hfill \cr t' = 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ t = 1 \hfill \cr t' = 0 \hfill \cr} \right..
Vậy P\left( {0,1,1} \right),Q\left( {0,0,0} \right).
PQ có phương trình
\left\{ \matrix{ x = 0 \hfill \cr y = t \hfill \cr z = t \hfill \cr} \right..
Chọn (D).
Câu 38
Cho mặt phẳng (P): x - 2y - 3z + 14 = 0 và điểm M\left( {1; - 1;1} \right). Tọa độ của điểm M’ đối xứng với M qua mp(P) là
(A) \left( { - 1;3;7} \right);
(B) \left( {1; - 3;7} \right);
(C) \left( {2; - 3; - 2} \right);
(D) \left( {2; - 1;1} \right).
Lời giải chi tiết:
(P) có vectơ pháp tuyến \overrightarrow n = \left( {1, - 2, - 3} \right).
M'\left( {x,y,z} \right) đối xứng với M qua mp(P) khi và chỉ khi \overrightarrow {MM'} cùng phương với \overrightarrow n và trung điểm I của MM’ nằm trên (P).
Ta có hệ:
\left\{ \matrix{ {{x - 1} \over 1} = {{y + 1} \over { - 2}} = {{z - 1} \over { - 3}} \hfill \cr {{x + 1} \over 2} - 2{{y - 1} \over 2} - 3{{z + 1} \over 2} + 14 = 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x = - 1 \hfill \cr y = 3 \hfill \cr z = 7 \hfill \cr} \right..
Chọn (A).
Câu 39
Cho điểm A\left( {0; - 1;3} \right) và đường thẳng
d:\left\{ \matrix{ x = 1 + 2t \hfill \cr y = 2 \hfill \cr z = - t\,. \hfill \cr} \right.
Khoảng cách từ A đến d bằng:
(A) \sqrt 3 ; (B) \sqrt {14} ;
(C) \sqrt 6 ; (D) \sqrt 8 .
Lời giải chi tiết:
d đi qua M(1, 2, 0) có vectơ chỉ phương \overrightarrow u = \left( {2,0, - 1} \right).
Khoảng cách từ A đến d bằng {{\left| {\left[ {\overrightarrow {AM} ,\overrightarrow u } \right]} \right|} \over {\left| {\overrightarrow u } \right|}} = \sqrt {14} .
Chọn (B).
Câu 40
Cho điểm M\left( { - 1;2; - 3} \right). Gọi {M_1},{M_2},{M_3} lần lượt là điểm đối xứng của M qua các mặt phẳng (Oxy), (Oxz), (Oyz). Phương trình mp\left( {{M_1}{M_2}{M_3}} \right) là:
(A) 6x + 2y + 3z + 6 = 0;
(B) 6x - 2y + 3z + 6 = 0;
(C) 6x - 3y + 2z + 6 = 0;
(D) 6x - 3y - 2z + 6 = 0.
Lời giải chi tiết:
{M_1}\left( { - 1,2,3} \right),{M_2}\left( { - 1, - 2, - 3} \right),{M_3}\left( {1,2, - 3} \right);mp\left( {{M_1}{M_2}{M_3}} \right) qua có vectơ pháp tuyến \overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {{M_1}{M_2}} ,\overrightarrow {{M_1}{M_3}} } \right].
Chọn (C).
Câu 41
Cho mặt cầu \left( S \right):{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 3} \right)^2} + {\left( {z - 2} \right)^2} = 49. Phương trình nào sau đây là phương trình của mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu (S) ?
(A) 6x + 2y + 3z = 0;
(B) 2x + 3y + 6z - 5 = 0;
(C) 6x + 2y + 3z - 55 = 0;
(D) x + 2y + 2z - 7 = 0.
Lời giải chi tiết:
(S) có tâm I\left( {1, - 3,2} \right), bán kính R = 7.
d\left( {I,\left( P \right)} \right) = 7.
Chọn (C).
Câu 42
Cho mặt cầu (S): {x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x - 4y - 6z = 0. Trong ba điểm (0; 0; 0); (1; 2; 3), (2; -1; -1), có bao nhiêu điểm nằm trong mặt cầu (S) ?
(A) 0 ; (B) 1 ;
(C) 2 ; (D) 3.
Lời giải chi tiết:
Lần lượt thay tọa độ ba điểm đã cho vào (S). Ta có O \in \left( S \right).
Chọn (B).
