Chứng minh rằng các hàm số sau đây đồng biến trên \(\mathbb R\):
LG a
\(f\left( x \right) = {x^3} - 6{x^2} + 17x + 4;\)
Phương pháp giải:
Tính y' và chứng minh \(y'\ge 0\) với mọi x.
Lời giải chi tiết:
Tập xác định: \(D =\mathbb R\)
\(f'\left( x \right) = 3{x^2} - 12x + 17 > 0\) với mọi \(x \in \mathbb R\) (vì \(a > 0\) và \(\Delta ' =6^2-3.17=-15 < 0\))
Hàm số đồng biến trên \(\mathbb R\).
Chú ý:
Có thể biến đổi f'(x) như sau:
\(\begin{array}{l}
f'\left( x \right) = 3{x^2} - 12x + 17\\
= 3\left( {{x^2} - 4x + 4} \right) + 5\\
= 3{\left( {x - 2} \right)^2} + 5 > 0,\forall x
\end{array}\)
LG b
\(f\left( x \right) = {x^3} + x - \cos x - 4\)
Lời giải chi tiết:
Tập xác định: \(D =\mathbb R\)
\(f'\left( x \right) = 3{x^2} + 1 + \sin x\)
Vì \(- 1 \le \sin x \le 1 \Rightarrow 1 + \sin x \ge 0\) và \(3{x^2} \ge 0\) nên \(f'\left( x \right) \ge 0\) với mọi \(x \in \mathbb R\)
Với \(x = 0\) thì \(1 + \sin x = 1 > 0\) nên \(f'\left( x \right) > 0\,\,\,\forall x \in \mathbb R\)
Do đó hàm số đồng biến trên \(\mathbb R\).
