Bài 40 trang 209 SGK giải tích 12 nâng cao

134 lượt xem

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

LG a
LG b

Xét các số phức: ${z_1} = \sqrt 6 - i\sqrt 2 ;$ ${z_2} = - 2 - 2i;$ ${z_3} = {{{z_1}} \over {{z_2}}}$

LG a

Viết ${z_1};\,{z_2};\,{z_3}$ dưới dạng lượng giác;

Phương pháp giải:

Dạng lượng giác của số phức $z = r\left( {\cos \varphi + i\sin \varphi } \right)$

Lời giải chi tiết:

$\eqalign{ &z_1=\sqrt 2 \left( {\sqrt 3 - i} \right) \cr & = 2\sqrt 2 \left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2} - \frac{1}{2}i} \right)\cr &= 2\sqrt 2 \left[ {\cos \left( { - {\pi \over 6}} \right) + i\sin \left( { - {\pi \over 6}} \right)} \right], \cr & {z_2} = 2\left( { - 1 - i} \right) \cr & = 2\sqrt 2 \left( { - \frac{1}{{\sqrt 2 }} - \frac{1}{{\sqrt 2 }}i} \right)\cr &= 2\sqrt 2 \left[ {\cos \left( { - {{3\pi } \over 4}} \right) + i\sin \left( { - {{3\pi } \over 4}} \right)} \right], \cr & {z_3} = {{{z_1}} \over {{z_2}}}\cr &= \cos \left( { - {\pi \over 6} + {{3\pi } \over 4}} \right) + i\sin \left( { - {\pi \over 6} + {{3\pi } \over 4}} \right) \cr &= \cos \left( {{{7\pi } \over {12}}} \right) + i\sin \left( {{{7\pi } \over {12}}} \right) \cr}$

LG b

Từ câu a) hãy tính $\cos {{7\pi } \over {12}}$ và $\sin {{7\pi } \over {12}}$ .

Phương pháp giải:

Thưc hiện phép chia hai số phức tính ${{{z_1}} \over {{z_2}}}$

Lời giải chi tiết:

Mặt khác ${{{z_1}} \over {{z_2}}} = {{\sqrt 6 - i\sqrt 2 } \over { - 2 - 2i}} = {{\left( {\sqrt 6 - i\sqrt 2 } \right)\left( { - 2 + 2i} \right)} \over 8}$ $= \frac{{ - 2\sqrt 6 + 2\sqrt 2 i + 2\sqrt 6 i + 2\sqrt 2 }}{8}$ $= {{ - \sqrt 6 + \sqrt 2 } \over 4} + {{\sqrt 6 + \sqrt 2 } \over 4}i$

So sánh với kết quả câu a), suy ra:

$\cos {{7\pi } \over {12}} = {{ - \sqrt 6 + \sqrt 2 } \over 4};\,\sin {{7\pi } \over {12}} = {{\sqrt 6 + \sqrt 2 } \over 4}$

SGK Toán 12 Nâng cao