Bài 36 trang 207 SGK giải tích 12 nâng cao

134 lượt xem

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Viết dạng lượng giác của các số phức sau:

LG a

$1 - i\tan {\pi \over 5}$

Phương pháp giải:

Dạng lượng giác của số phức $z = r\left( {\cos \varphi + i\sin \varphi } \right)$

Lời giải chi tiết:

$1 - i\tan {\pi \over 5}$ $= 1 - i{{\sin {\pi \over 5}} \over {\cos {\pi \over 5}}}$ $= {1 \over {\cos {\pi \over 5}}}\left( {\cos {\pi \over 5} - i\sin {\pi \over 5}} \right)$ $= {1 \over {\cos {\pi \over 5}}}\left[ {\cos \left( { - {\pi \over 5}} \right) + i\sin \left( { - {\pi \over 5}} \right)} \right]$

LG b

$\tan {{5\pi } \over 8} + i;$

Lời giải chi tiết:

$\tan {{5\pi } \over 8} + i$ $= \frac{{\sin \frac{{5\pi }}{8}}}{{\cos \frac{{5\pi }}{8}}} + i$ $= \frac{1}{{\cos \frac{{5\pi }}{8}}}\left( {\sin \frac{{5\pi }}{8} + i\cos \frac{{5\pi }}{8}} \right)$ $= {{ - 1} \over {\cos {{5\pi } \over 8}}}\left( { - \sin {{5\pi } \over 8} - i\cos {{5\pi } \over 8}} \right)$

(do $\cos {{5\pi } \over 8} < 0$ )

$= {1 \over {\cos {{3\pi } \over 8}}}\left( -{\cos {\pi \over 8} + i\sin {\pi \over 8}} \right)$ $= {1 \over {\cos {{3\pi } \over 8}}}\left( {\cos {{7\pi } \over 8} + i\sin {{7\pi } \over 8}} \right)$

LG c

${\mkern 1mu} 1 - \cos \varphi - i\sin \varphi {\mkern 1mu}$ $\left( {\varphi \in\mathbb R,{\mkern 1mu} \varphi \ne k2\pi ,{\mkern 1mu} k \in\mathbb Z} \right){\rm{ }}$

Lời giải chi tiết:

$1 - \cos \varphi - i\sin \varphi$ $= 2\sin^2 {\varphi \over 2} - 2i\sin {\varphi \over 2}\cos {\varphi \over 2}$ $= 2\sin {\varphi \over 2}\left[ {\sin {\varphi \over 2} - i\cos {\varphi \over 2}} \right]$

Khi $\sin {\varphi \over 2} > 0$ thì $\,1 - \cos \varphi - i\sin \varphi$ $= {2\sin {\varphi \over 2}} \left[ {\cos \left( {{\varphi \over 2} - {\pi \over 2}} \right) +i\sin\left( {{\varphi \over 2} - {\pi \over 2}} \right)} \right]$ là dạng lượng giác cần tìm.

Khi $\sin {\varphi \over 2} < 0$ thì $\,1 - \cos \varphi - i\sin \varphi$ $= \left( { - 2\sin {\varphi \over 2}} \right)\left[ {\cos \left( {{\varphi \over 2} + {\pi \over 2}} \right) + i\sin \left( {{\varphi \over 2} + {\pi \over 2}} \right)} \right]$ là dạng lượng giác cần tìm.

Còn khi $\sin {\varphi \over 2} = 0$ thì $\,\,1 - \cos \varphi - i\sin \varphi = 0 = 0\left( {\cos \alpha + i\sin \alpha } \right)\,\,(\alpha \in\mathbb R$ tùy ý).

SGK Toán 12 Nâng cao