Tính diện tích của các hình phẳng giới hạn bởi:
LG a
Parabol \(y = {x^2} - 2x + 2,\) tiếp tuyến của nó tại điểm \(M(3;5)\) và trục tung
Phương pháp giải:
- Viết phương trình tiếp tuyến.
- Dựng hình suy ra công thức tính diện tích.
Lời giải chi tiết:
Ta có \(y' = 2x - 2 \Rightarrow y'\left( 3 \right) = 4.\)
Phương trình tiếp tuyến với parabol tại M(3;5) là:
\(y - 5 = 4\left( {x - 3} \right) \Leftrightarrow y = 4x - 7\)
Gọi S là diện tích cần tìm, ta có :
\(\eqalign{
& S = \int\limits_0^3 {\left( {{x^2} - 2x + 2 - 4x + 7} \right)} dx \cr
& \,\,\, = \int\limits_0^3 {\left( {{x^2} - 6x + 9} \right)} dx = \int\limits_0^3 {{{\left( {x - 3} \right)}^2}dx} \cr
& \,\,\, = \left. {{1 \over 3}{{\left( {x - 3} \right)}^3}} \right|_0^3 = 9. \cr} \)
LG b
Parabol \(y = - {x^2} + 4x - 3\) và các tiếp tuyến của nó tại các điểm \(A(0;-3)\) và \(B(3;0)\)
Phương pháp giải:
- Viết phương trình tiếp tuyến.
- Dựng hình suy ra công thức tính diện tích.
Lời giải chi tiết:
Ta có \(y' = - 2x + 4 \) \(\Rightarrow y'\left( 0 \right) = 4;y'\left( 3 \right) = - 2\)
Phương trình tiếp tuyến tại \(A(0;-3)\) là :
\(y + 3 = 4\left( {x - 0} \right) \Leftrightarrow y = 4x - 3\)
Phương trình tiếp tuyến tại \(B(3;0)\) là :
\(y = - 2\left( {x - 3} \right) \Leftrightarrow y = - 2x + 6\)
Giao điểm của hai tiếp tuyến là \(C\left( {{3 \over 2};3} \right).\)
Kí hiệu \({A_1}\) và \({A_2}\) là tam giác cong \(ACD\) Và \(BCD\). Ta có :
\(S\left( {{A_1}} \right) = \int\limits_0^{{3 \over 2}} {\left( {4x - 3 + {x^2} - 4x + 3} \right)} dx \) \(= \int\limits_0^{{3 \over 2}} {{x^2}dx = \left. {{{{x^3}} \over 3}} \right|_0^{{3 \over 2}}} = {9 \over 8}\)
\(S\left( {{A_2}} \right) = \int\limits_{{3 \over 2}}^3 {\left( { - 2x + 6 + {x^2} - 4x + 3} \right)} dx \) \(= \int\limits_{{3 \over 2}}^3 {{{\left( {x - 3} \right)}^2}dx = } \left. {{1 \over 3}{{\left( {x - 3} \right)}^3}} \right|_{{3 \over 2}}^3 = {9 \over 8}\)
Vậy \(S = S\left( {{A_1}} \right) + S\left( {{A_2}} \right) = {9 \over 8} + {9 \over 8} = {9 \over 4}\)
