Xác định đỉnh \(I\) của mỗi parabol \((P)\) sau đây. Viết công thức chuyển hệ tọa độ trong phép tịnh tiến theo vectơ \(\overrightarrow {OI} \) và viết phương trình của parabol \((P)\) đối với hệ tọa độ \(IXY\).
LG a
\(y = 2{x^2} - 3x + 1;\)
Lời giải chi tiết:
Ta có:
\(\begin{array}{l}
- \frac{b}{{2a}} = - \frac{{ - 3}}{{2.2}} = \frac{3}{4}\\
y\left( {\frac{3}{4}} \right) = 2.{\left( {\frac{3}{4}} \right)^2} - 3.\frac{3}{4} + 1 = - \frac{1}{8}
\end{array}\)
Đỉnh \(I\left( {{3 \over 4}; - {1 \over 8}} \right)\)
Công thức chuyển trục tọa độ tịnh tiến theo
\(\overrightarrow {OI} :\left\{ \matrix{
x = X + {3 \over 4} \hfill \cr
y = Y - {1 \over 8} \hfill \cr} \right.\)
Phương trình của \((P)\) đối với hệ tọa độ \(IXY\) là
\(Y - {1 \over 8} = 2{\left( {X + {3 \over 4}} \right)^2} - 3\left( {X + {3 \over 4}} \right) + 1 \) \(\Leftrightarrow Y = 2{X^2}\)
Chú ý:
Có thể tìm đỉnh cách khác như sau:
\(y' = 4x - 3\)
\(y' = 0 \Leftrightarrow x = {3 \over 4}\)
\(y\left( {{3 \over 4}} \right) = - {1 \over 8}\)
Đỉnh \(I\left( {{3 \over 4}; - {1 \over 8}} \right)\).
LG b
\(y = {1 \over 2}{x^2} - x - 3;\)
Lời giải chi tiết:
Ta có:
\(\begin{array}{l}
- \frac{b}{{2a}} = - \frac{{ - 1}}{{2.\frac{1}{2}}} = 1\\
y\left( 1 \right) = \frac{1}{2}{.1^2} - 1 - 3 = - \frac{7}{2}
\end{array}\)
Đỉnh \(I\left( {1; - {7 \over 2}} \right)\)
Công thức chuyển trục tọa độ tịnh tiến theo
\(\overrightarrow {OI} :\left\{ \matrix{
x = 1 + X \hfill \cr
y = - {7 \over 2} + Y \hfill \cr} \right.\)
Phương trình của \((P)\) đối với hệ tọa độ \(IXY\) là
\(Y - {7 \over 2} = {1 \over 2}{\left( {X + 1} \right)^2} - \left( {X + 1} \right) - 3 \) \(\Leftrightarrow Y = {1 \over 2}{X^2}\)
Cách tìm đỉnh khác:
\(y' = x - 1\)
\(y' = 0 \Leftrightarrow x = 1\)
\(y\left( 1 \right) = - {7 \over 2}\)
Đỉnh \(I\left( {1; - {7 \over 2}} \right)\).
LG c
\(y = x - 4{x^2}\);
Lời giải chi tiết:
\(\begin{array}{l}- \frac{b}{{2a}} = - \frac{1}{{2.\left( { - 4} \right)}} = \frac{1}{8}\\y\left( {\frac{1}{8}} \right) = \frac{1}{8} - 4.{\left( {\frac{1}{8}} \right)^2} = \frac{1}{{16}}\end{array}\)
Đỉnh \(I\left( {{1 \over 8};{1 \over {16}}} \right)\)
Công thức chuyển trục tọa độ tịnh tiến theo
\(\overrightarrow {OI} :\left\{ \matrix{
x = X + {1 \over 8} \hfill \cr
y = Y + {1 \over {16}} \hfill \cr} \right.\)
Phương trình của \((P)\) đối với hệ tọa độ \(IXY\) là
\(Y + {1 \over {16}} = X + {1 \over 8} - 4{\left( {X + {1 \over 8}} \right)^2}\) \( \Leftrightarrow Y = - 4{X^2}\)
Cách khác tìm đỉnh:
\(y' = 1 - 8x\)
\(y' = 0 \Leftrightarrow x = {1 \over 8};y\left( {{1 \over 8}} \right) = {1 \over {16}}\)
Đỉnh \(I\left( {{1 \over 8};{1 \over {16}}} \right)\).
LG d
\(y = 2{x^2} - 5\);
Lời giải chi tiết:
\(\begin{array}{l}
- \frac{b}{{2a}} = - \frac{0}{{2.2}} = 0\\
y\left( 0 \right) = {2.0^2} - 5 = - 5
\end{array}\)
Đỉnh \(I\left( {0; - 5} \right)\)
Công thức chuyển trục tọa độ tịnh tiến theo
\(\overrightarrow {OI} :\left\{ \matrix{
x = X \hfill \cr
y = Y - 5 \hfill \cr} \right.\)
Phương trình của \((P)\) đối với hệ tọa độ \(IXY\) là
\(Y - 5 = 2{X^2} - 5 \) \(\Leftrightarrow Y = 2{X^2}\).
Cách khác tìm đỉnh:
\(y' = 4x;y' = 0 \Leftrightarrow x = 0;y\left( 0 \right) = - 5\)
Đỉnh \(I\left( {0; - 5} \right)\).
