Đề bài
Xác định các hệ số a,b,c sao cho hàm số f(x)=x3+ax2+bx+c đạt cực trị bằng 0 tại điểm x=−2 và đồ thị của hàm số đi qua điểm A(1;0).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
- Sử dụng các điều kiện bài cho lập hệ phương trình ẩn a, b. c.
- Giải hệ tìm a, b, c và kết luận.
Chú ý:
+) f đạt cực trị tại điểm x=−2 nên f′(−2)=0
+) f(-2)=0
+) Đồ thị hàm số đi qua điểm A(1;0) nên: f(1)=0
Lời giải chi tiết
f′(x)=3x2+2ax+b
f đạt cực trị tại điểm x=−2 nên f′(−2)=0
⇒3.(−2)2+2a.(−2)+b=0
⇒12−4a+b=0(1)
f(−2)=0 ⇒(−2)3+a.(−2)2+b.(−2)+c=0
⇒−8+4a−2b+c=0(2)
Đồ thị hàm số đi qua điểm A(1;0) nên: f(1)=0⇒1+a+b+c=0(3)
Từ (1), (2), (3) ta có hệ phương trình:
{4a−b=124a−2b+c=8a+b+c=−1⇔{a=3b=0c=−4
Vậy a=3,b=0,c=−4.
Thử lại,
Xét f(x) = x3+3x2-4.
Ta có đồ thị hàm số f(x) đi qua A(1; 0) vì 13+3.12−4=0
f’(x) = 3x2+6x ⇒ f'' (x)=6x+6
f’(-2)= 0; f’’(2) = -6 < 0 nên x = -2 là điểm cực đại và f(-2) = 0
Đáp số: a =3; b =0; c = -4.
