Đề bài
Tìm các căn bậc hai của mỗi số phức sau:−i;4i;−4;1+4√3i.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
- Giả sử z=x+yi là căn bậc hai của w.
- Lập hệ phương trình ẩn x, y dựa vào điều kiện z2=w.
- Giải hệ tìm x, y và kết luận.
Lời giải chi tiết
* Giả sử z=x+yi là căn bậc hai của −i, ta có:
(x+yi)2=−i ⇔x2−y2+2xyi=−i ⇔{x2−y2=0(1)2xy=−1(2)
Từ (2) suy ra y=−12x thế vào (1) ta được:
x2−14x2=0⇔x4=14⇔x=±1√2
+) Với x=1√2ta có y=−12x=−1√2
+) Với x=−1√2ta có y=−12x=1√2
Hệ có hai nghiệm là: (−1√2,1√2),(1√2,−1√2)
Vậy –i có hai căn bậc hai là: z1=−1√2+1√2i,z2=1√2−1√2i
* Giả sử z=x+yi là căn bậc hai của 4i, ta có:
(x+yi)2=4i ⇔x2−y2+2xyi=4i ⇔{x2−y2=0(1)xy=2(2)
Thay y=2x vào phương trình thứ nhất ta được:
x2−4x2=0⇔x4=4⇔x=±√2
+) Với x=√2 ta có y=2x=√2;
+) Với x=−√2 ta có y=−√2
Hệ có hai nghiệm (√2;√2),(−√2;−√2)
Vậy 4i có hai căn bậc hai là:z1=√2+√2i; z2=−√2−√2i
* Ta có −4=4i2=(2i)2 do đó −4 có hai căn bậc hai là ±2i
* Giả sử z=x+yi là căn bậc hai của 1+4√3i.
(x+yi)2=1+4√3i
⇔{x2−y2=12xy=4√3⇔{y=2√3xx2−12x2=1
⇔{y=2√3xx4−x2−12=0⇔{y=2√3x[x2=4x2=−3(loai)
⇔{y=2√3xx2=4
⇔{x=2y=√3 hoặc {x=−2y=−√3
Hệ có hai nghiệm (2;√3),(−2;−√3)
Vậy 1+4√3i có hai căn bậc hai là:z1=2+√3i,z2=−2−√3i
