Bài 16 trang 54 SGK Hình học 12 Nâng cao

122 lượt xem

Đề bài

Một hình trụ có bán kính đáy bằng $R$ và chiều cao $R\sqrt 3$ .

a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình trụ.

b) Tính thể tích của khối trụ giới hạn bởi hình trụ.

c) Cho hai điểm A và B lần lượt nằm trên hai đường tròn đáy sao cho góc giữa AB và trục của hình trụ bằng ${30^0}$ . Tính khoảng cách giữa AB và trục của hình trụ.

Lời giải chi tiết

a) Diện tích xung quanh của hình trụ

${S_{xq}} = 2\pi R.R\sqrt 3 = 2\sqrt 3 \pi {R^2}$

Diện tích toàn phần của hình trụ là:

${S_{tp}} = {S_{xq}} + 2{S_{day}} = 2\sqrt 3 \pi {R^2} + 2\pi {R^2}$ $= 2\left( {\sqrt 3 + 1} \right)\pi {R^2}$
b) Thể tích của khối trụ $V = \pi {R^2}.R\sqrt 3 = \sqrt 3 \pi {R^3}$ .

c) Gọi $O$ và $O’$ là tâm của hai đường tròn đáy.

Kẻ $AA’ // OO’$ (A’ nằm trên đáy dưới hình trụ)

Ta có: $O'A' = R\,\,,\,\,AA' = R\sqrt 3$ và $\widehat {BAA'} = {30^0}$ .

Vì $OO’ // (ABA’)$ nên khoảng cách giữa $OO’$ và $AB$ bằng khoảng cách giữa $OO’$ và $(ABA’)$ .

Kẻ $OH \bot A'B$ thì $H$ là trung điểm của $A’B$ (quan hệ vuông góc giữa đường kính và dây cung) và $O'H \bot \left( {ABA'} \right)$ .

Trong tam giác vuông $AA’B$ ta có:

$\tan {30^0} = {{A'B} \over {AA'}}$

$\Rightarrow A'B = AA'.\tan{30^0}$ $= R\sqrt 3 .{1 \over {\sqrt 3 }} = R$

Vậy tam giác $BA’O’$ là tam giác đều cạnh $R$ nên $O'H = {{R\sqrt 3 } \over 2}$ .

SGK Toán 12 Nâng cao