Bài 18 trang 28 SGK Hình học 12 Nâng cao

116 lượt xem

Đề bài

Tính thể tích của khối lăng trụ $n$ -giác đều có tất cả các cạnh đều bằng $a$ .

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Sử dụng công thức tính thể tích lăng trụ V=Bh.

Lời giải chi tiết

Gọi ${A_1}{A_2}...{A_n}$ là đáy của khối lăng trụ $n$ -giác đều và $O$ là tâm của đáy.
Gọi $I$ là trung điểm của ${A_1}{A_2}$ ta có $OI \bot {A_1}{A_2}$ .
Trong $\Delta {A_1}IO$ : $\cot \widehat {{A_1}OI} = {{OI} \over {{A_1}I}}$

$\Rightarrow OI = {A_1}I\cot \widehat {{A_1}OI}$

Mà ${A_1}I = \frac{1}{2}{A_1}{A_2} = \frac{a}{2}$ và $\widehat {{A_1}OI} = \frac{1}{2}\widehat {{A_1}O{A_2}} = \frac{1}{2}.\frac{{2\pi }}{n} = \frac{\pi }{n}$ nên $OI = \frac{a}{2}.\cot \frac{\pi }{n}$

$\Rightarrow {S_{{A_1}O{A_2}}} = \frac{1}{2}OI.{A_1}{A_2}$ $= \frac{1}{2}.\frac{a}{2}\cot \frac{\pi }{n}.a = \frac{{{a^2}}}{4}\cot \frac{\pi }{n}$

Diện tích đáy của khối lăng trụ đều là ${S} = n.{S_{{A_1}O{A_2}}} = \frac{{n{a^2}}}{4}\cot \frac{\pi }{n}$

Chiều cao của khối lăng trụ đều là $a$ nên thể tích của nó là:

$V = Bh = \frac{{n{a^2}}}{4}\cot \frac{\pi }{n}.a = \frac{{n{a^3}}}{4}\cot \frac{\pi }{n}$

SGK Toán 12 Nâng cao