1. Giới hạn hữu hạn
+) Cho khoảng K chứa điểm x0 và hàm số y=f(x) xác định trên K hoặc trên K∖{x0}.
lim khi và chỉ khi với dãy số (x_n) bất kì, x_n ∈ K\backslash {\rm{\{ }}{x_0}{\rm{\} }} và x_n\rightarrow x_0, ta có
\lim f(x_n) =L.
+) Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (x_0; b).
\underset{x\rightarrow x_{_{0}}^{+}}{\lim} f(x) = L khi và chỉ khi dãy số \((xn) bất kì, x_0<x_n< b và x_n\rightarrow x_0 ,ta có \lim f(x_n) = L.
+) Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a; x_0).
\underset{x\rightarrow x_{_{0}}^{-}}{\lim} f(x) = L khi và chỉ khi với dãy số (x_n) bất kì, a <x_n< x_0 và x_n\rightarrow x_0, ta có
\lim f(x_n) = L.
+) Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a; +∞).
\underset{x\rightarrow+\infty }{\lim} f(x) = L khi và chỉ khi với dãy số (x_n) bất kì, x_n> a, x_n\rightarrow +\infty thì lim f(x_n) = L.
+) Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (-∞; a).
\underset{x\rightarrow-\infty }{\lim} f(x) = L khi và chỉ khi với dãy số (x_n) bất kì, x_n< a, x_n\rightarrow -\infty thì \lim f(x_n) = L.
2. Giới hạn vô cực
Sau đây là hai trong số nhiều loại giới hạn vô cực khác nhau:
+) Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a; +∞), \underset{x\rightarrow+\infty }{\lim} f(x) = -∞ khi và chỉ khi với dãy số (x_n) bất kì, x_n> a, x_n\rightarrow +\infty thì ta có \lim f(x_n) = -∞
+) Cho khoảng K chứa điểm x_0 và hàm số y = f(x) xác định trên K hoặc trên K\backslash {\{x_0}\rm{\} }.
\underset{x\rightarrow x_{_{0}}}{\lim} f(x) = +∞ và chỉ khi với dãy số (x_n) bất kì, x_n ∈K\backslash {\rm{\{ }}{x_0}{\rm{\} }} và x_n\rightarrow x_0 thì ta có: \lim f(x_n) = +∞.
Nhận xét: f(x) có giới hạn +∞ khi và chỉ khi -f(x) có giới hạn -∞.
3. Các giới hạn đặc biệt
a) \underset{x\rightarrow x_{_{0}}}{\lim} x = x_0;
b) \underset{x\rightarrow x_{_{0}}}{\lim}c = c;
c) \underset{x\rightarrow \pm \infty }{\lim} c = c;
d) \underset{x\rightarrow \pm \infty }{\lim} \frac{c}{x} = 0 (c là hằng số);
e) \underset{x\rightarrow+\infty }{\lim} x^k= +∞, với k nguyên dương;
f) \underset{x\rightarrow-\infty }{lim} x^k= -∞, nếu k là số lẻ;
g) \underset{x\rightarrow-\infty }{lim}x^k = +∞ , nếu k là số chẵn.
4. Định lí về giới hạn hữu hạn
Định lí 1.
a) Nếu \underset{x\rightarrow x_{_{0}}}{lim} = L và \underset{x\rightarrow x_{_{0}}}{lim} g(x) = M thì:
\underset{x\rightarrow x_{_{0}}}{lim} [f(x) + g(x)] = L + M;
\underset{x\rightarrow x_{_{0}}}{lim} [f(x) - g(x) = L - M;
\underset{x\rightarrow x_{_{0}}}{lim} [f(x) . g(x)] = L.M;
\underset{x\rightarrow x_{_{0}}}{lim} \frac{f(x)}{g(x)}= \frac{L}{M} (nếu M ≠ 0).
b) Nếu f(x) ≥ 0 và \underset{x\rightarrow x_{_{0}}}{\lim} f(x) = L, thì L ≥ 0 và \underset{x\rightarrow x_{_{0}}}{\lim}\sqrt {f(x)} = \sqrt L
Chú ý: Định lí 1 vẫn đúng khi x_n\rightarrow +\infty hoặc x_n\rightarrow -\infty.
Định lí 2.
\underset{x\rightarrow x_{_{0}}}{lim} f(x) = L khi và chỉ khi \underset{x\rightarrow x_{_{0}}^{+}}{lim} f(x) = \underset{x\rightarrow x_{_{0}}^{-}}{\lim} f(x) = L.
5. Quy tắc về giới hạn vô cực
a) Quy tắc giới hạn của tích f(x).g(x)
+ Nếu \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = \pm \infty và \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} g\left( x \right) = L \ne 0 thì \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left[ {f\left( x \right).g\left( x \right)} \right] được cho trong bảng sau:
b) Quy tắc tìm giới hạn của thương \dfrac{f(x)}{g(x)}
+ Nếu \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = L \ne 0 và \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} g\left( x \right) = 0 và g\left( x \right) > 0 hoặc g\left( x \right) < 0 với mọi x \in J\backslash \left\{ {{x_0}} \right\}, trong đó J là một khoảng nào đó chứa {x_0} thì \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \dfrac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right)}} được cho trong bảng sau:
