Cho dãy số (un) xác định bởi {u1=5un+1=un+3n−2voin≥1.
LG a
Tìm công thức tính un theo n
Phương pháp giải:
- Tính u2,u3,...,un+1
- Cộng vế với vế các đẳng thức, từ đó suy ra công thức tính un+1 theo n.
- Xét hiệu un+1−un và suy ra kết luận.
Lời giải chi tiết:
Ta có:
u1=5u2=u1+1u3=u2+4u4=u3+7u5=u4+10...un+1=un+3n−2
Cộng vế với vế của các đẳng thức trên ta được:
u1+u2+...+un+un+1 =5+(u1+1)+(u2+4)+...+(un+3n−2)
⇒un+1=5+1+4+7+...+(3n−2)
Ta chứng minh 1+4+7+...+(3n−2)=n(3n−1)2 bằng quy nạp.
Đặt Sn=1+4+7+...+(3n−2)
+) Với n=1 thì S1=1 đúng.
+) Giả sử Sk=k(3k−1)2, ta chứng minh Sk+1=(k+1)(3k+2)2.
Thật vậy,
Sk+1=Sk+3(k+1)−2 =k(3k−1)2+3k+1 =3k2−k+6k+22 =3k2+5k+22=(k+1)(3k+2)2
Do đó ta được 1+4+7+...+(3n−2)=n(3n−1)2
Vậy un+1=5+n(3n−1)2 hay un=5+(n−1)(3n−4)2
LG b
Chứng minh (un) là dãy số tăng
Phương pháp giải:
- Tính u2,u3,...,un+1
- Cộng vế với vế các đẳng thức, từ đó suy ra công thức tính un+1 theo n.
- Xét hiệu un+1−un và suy ra kết luận.
Lời giải chi tiết:
Xét hiệu un+1−un =5+n(3n−1)2−5−(n−1)(3n−4)2 =3n2−n−3n2+3n+4n−42 =6n−42>0,∀n.
Vậy dãy số đã cho tăng.
