Đề bài
Chứng minh rằng mỗi phép quay đều có thể xem là kết quả của việc thực hiện liên tiếp hai phép đối xứng trục.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
- Cho O và góc lượng giác α. Phép biến hình biến O thành chính nó, biến mỗi điểm M khác O thành điểm M′ sao cho OM′=OM và góc lượng giác (OM;OM′) bằng α được gọi là phép quay tâm O góc α.
Lời giải chi tiết
Gọi Q(I,α) là phép quay tâm I góc α. Lấy đường thẳng d bất kì qua I. Gọi d′ là ảnh của d qua phép quay tâm I góc α2. Lấy điểm M bất kì và gọi M′=Q(I,α)(M). Gọi M″ là ảnh của M qua phép đối xứng qua trục d. M_1 là ảnh của M’’ qua phép đối xứng qua trục d’. Gọi J là giao của MM’ với d, H là giao của M’’M_1 với d’.
Khi đó ta có đẳng thức giữa các góc lượng giác sau:
(IM,IM_1)
=(IM,IM’’)+(IM’’,IM_1)
=2(IJ,IM’’)+2(IM’’,IH)
=2(IJ,IH)=2\dfrac{\alpha}{2}=\alpha=(IM,IM’)
Từ đó suy ra M’\equiv M_1. Như vậy M’ có thể xem là ảnh của M sau khi thực hiện liên tiếp hai phép đối xứng qua hai trục d và d’.
