Đề bài
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA và SC.
a) Chứng minh AC ⊥ SD
b) Chứng minh MN ⊥ (SBD)
c) Cho AB = SA = a. Tính cosin của góc giữa (SBC) và (ABCD)
Lời giải chi tiết
a) Gọi H là tâm hình vuông ABCD ⇒SH⊥(ABCD).
Ta có: AC ⊥ SH & AC ⊥ BD
⇒ AC ⊥ (SBD) ⇒ AC ⊥ SD.
b) MN là đường trung bình của tam giác SAC nên MN//AC.
Mà AC ⊥ (SBD) ⇒ MN ⊥ (SBD).
c) + Xác định góc α giữa (SBC) và (ABCD)
Gọi I là trung điểm của BC, ta có:
BC ⊥ IH & BC ⊥ SH ⇒ BC ⊥ (SIH)
⇒ BC ⊥ SI.
Ta có: {(SBC)∩(ABCD)=BCSI⊥BCHI⊥BC nên góc giữa (SBC) và (ABCD) là góc giữa SI và HI hay ^SIH=α.
+ Tính α:
Ta có: IH=12AB=a2
SI=√SC2−IC2 =√a2−a24=a√32
⇒cosα=IHSI=a2:a√32=1√3
