Trong mặt phẳng \(Oxy\) cho đường thẳng \(d\) có phương trình \(3x - 2y - 6 = 0\)
LG câu a
Viết phương trình của đường thẳng \({d_1}\) là ảnh của \(d\) qua phép đối xứng qua trục \(Oy\)
Phương pháp giải:
Sử dụng biểu thức tọa độ của phép đối xứng trục \(Oy\): \(\left\{ \begin{array}{l}x' = - x\\y' = y\end{array} \right.\).
Lời giải chi tiết:
Với mỗi điểm \(M\left( {x;y} \right)\) bất kì thuộc \(d\), gọi \(M'\left( {x';y'} \right) = {D_{Oy}}\left( M \right)\)
Khi đó \(\left\{ \begin{array}{l}x' = - x\\y' = y\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - x'\\y = y'\end{array} \right.\).
Mà \(M\left( {x;y} \right) \in d:3x - 2y - 6 = 0\) nên \(3.\left( { - x'} \right) - 2.y' - 6 = 0\) hay \(3x' + 2y' + 6 = 0\).
Vậy \({d_1}:3x + 2y + 6 = 0\).
LG câu b
Viết phương trình của đường thẳng \({d_2}\) là ảnh của \(d\) qua phép đối xứng qua đường thẳng \(\Delta \) có phương trình \(x + y - 2 = 0\).
Phương pháp giải:
– Tìm giao điểm \(A\) của \(d\) và \(\Delta \).
- Lấy một điểm \(B \in d\), tìm ảnh \(B'\) của \(B\) qua \({D_\Delta }\).
- Viết phương trình \(AB'\) và kết luận.
Lời giải chi tiết:
Dễ thấy \(\Delta \) và \(d\) cắt nhau do \(\dfrac{3}{1} \ne \dfrac{{ - 2}}{1}\) nên gọi \(A\left( {x;y} \right) = d \cap \Delta \).
Tọa độ của \(A\) thỏa mãn hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}3x - 2y - 6 = 0\\x + y - 2 = 0\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3x - 2y = 6\\x + y = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = 0\end{array} \right.\)
\( \Rightarrow A\left( {2;0} \right)\).
Lấy \(B\left( {0; - 3} \right) \in d\), gọi \(B'\left( {x;y} \right) = {D_\Delta }\left( B \right)\), ta tìm tọa độ \(B'\).
Gọi \({d_3}\) là đường thẳng qua \(B\left( {0; - 3} \right)\) và vuông góc \(\Delta \). Khi đó \(\overrightarrow {{n_{{d_3}}}} \bot \overrightarrow {{n_d}} \Rightarrow \overrightarrow {{n_{{d_3}}}} = \left( {1; - 1} \right)\).
Phương trình \({d_3}:1\left( {x - 0} \right) - 1\left( {y + 3} \right) = 0\) hay \(x - y - 3 = 0\).
Gọi \(H = \Delta \cap {d_3}\) thì tọa độ của \(H\) thỏa mãn hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x + y - 2 = 0\\x - y - 3 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{5}{2}\\y = - \dfrac{1}{2}\end{array} \right.\)
\( \Rightarrow H\left( {\dfrac{5}{2}; - \dfrac{1}{2}} \right)\).
Mà \(B' = {D_\Delta }\left( B \right)\) nên \(H\) là trung điểm của \(BB'\)
\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_{B'}} = 2{x_H} - {x_B}\\{y_{B'}} = 2{y_H} - {y_B}\end{array} \right.\)
hay
\(\left\{ \begin{array}{l}{x_{B'}} = 2.\dfrac{5}{2} - 0 = 5\\{y_{B'}} = 2.\left( { - \dfrac{1}{2}} \right) - \left( { - 3} \right) = 2\end{array} \right.\)
\( \Rightarrow B'\left( {5;2} \right)\).
Đường thẳng \({d_2}\) đi qua hai điểm \(A\left( {2;0} \right)\) và \(B'\left( {5;2} \right)\) nên có phương trình \(\dfrac{{x - 2}}{{5 - 2}} = \dfrac{{y - 0}}{{2 - 0}}\) hay \(2x - 3y - 4 = 0\).
Vậy \({d_2}:2x - 3y - 4 = 0\).
