Đề bài
Nghiệm của phương trình \(\cos x\cos 7x=\cos 3x\cos 5x\) là
A. \(\dfrac{\pi}{6}+k\pi,k\in\mathbb{Z}\)
B. \(-\dfrac{\pi}{6}+k2\pi,k\in\mathbb{Z}\)
C. \(k\dfrac{\pi}{4},k\in\mathbb{Z}\)
D. \(k\dfrac{\pi}{3},k\in\mathbb{Z}\).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng công thức biến đổi tích thành tổng.
Phương trình \(\cos x=\cos \alpha\) có nghiệm là
\(x=\pm\alpha+k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\).
Lời giải chi tiết
Ta có: \(\cos x\cos 7x=\cos 3x\cos 5x\)
\(\Leftrightarrow \dfrac{1}{2}{\left[{\cos (7x+x)+\cos(7x-x)}\right]}\)
\(=\dfrac{1}{2}{\left[{\cos (5x+3x)+\cos(5x-3x)}\right]}\)
\(\Leftrightarrow \cos 8x+\cos 6x=\cos 8x+\cos 2x\)
\(\Leftrightarrow \cos 6x=\cos 2x\)
\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} 6x =2x+k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\\6x= -2x+k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\end{array} \right. \)
\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = k\dfrac{\pi}{2} ,k \in \mathbb{Z}\\x= k\dfrac{\pi}{4} ,k \in \mathbb{Z}\end{array} \right. \)
Vì tập \({\left\{{k\dfrac{\pi}{2}}\right\}}\subset{\left\{{k\dfrac{\pi}{4}}\right\}}\)
Vậy nghiệm của phương trình là \(k\dfrac{\pi}{4} ,k \in \mathbb{Z}\)
Đáp án: C.
