Cho hàm số
f(x)=x3+bx2+cx+d ; (C)
g(x)=x2−3x−1.
LG a
Xác định b, c, d sao cho đồ thị (C) đi qua các điểm (1;3),(−1;−3) và f′(13)=53
Lời giải chi tiết:
Ta có: f′(x)=3x2+2bx+c
Theo bài ra ta có:
{1+b+c+d=3−1+b−c+d=−33.19+2b.13+c=53 ⇔{b+c+d=2b−c+d=−22b+3c=4 ⇔{b=−1c=2d=1
⇒f(x)=x3−x2+2x+1
LG b
Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ x0=1
Lời giải chi tiết:
Ta có: f′(x)=3x2−2x+2
Tại x0=1 thì y0=3 và f′(1)=3
Phương trình tiếp tuyến tại M(1;3) là:
y=3(x−1)+3 hay y=3x.
LG c
Giải phương trình f′(sint)=3
Lời giải chi tiết:
f′(sint)=3sin2t−2sint+2.f′(sint)=3⇔3sin2t−2sint−1=0⇔[sint=1sint=−13⇔[t=π2+k2πt=arcsin(−13)+k2πt=π−arcsin(−13)+k2π (k∈Z)
LG d
Giải phương trình f″
Lời giải chi tiết:
\eqalign{ & f''\left( x \right) = 6x - 2 \cr & \Rightarrow f''\left( {\cos t} \right) = 6\cos t - 2 \cr} ;
\eqalign{ & g'\left( x \right) = 2x - 3 \cr & \Rightarrow g'\left( {\sin t} \right) = 2\sin t - 3. \cr}
Vậy
\eqalign{ & 6\cos t - 2 = 2\sin t - 3 \cr & \Leftrightarrow 2\sin t - 6\cos t = 1 \cr & \Leftrightarrow \sin t - 3\cos t = {1 \over 2}. \cr}
Đặt \tan \varphi = 3, ta được:
\begin{array}{l} \sin t - \tan \varphi \cos t = \dfrac{1}{2}\\ \Leftrightarrow \sin t - \dfrac{{\sin \varphi }}{{\cos \varphi }}\cos t = \dfrac{1}{2}\\ \Leftrightarrow \sin t\cos \varphi - \sin \varphi \cos t = \dfrac{1}{2}\cos \varphi \\ \Leftrightarrow \sin \left( {t - \varphi } \right) = \dfrac{1}{2}\cos \varphi = \alpha \end{array}
Suy ra
\left[ \matrix{ t = \varphi + \arcsin \alpha + k2\pi \hfill \cr t = \pi + \varphi - \arcsin \alpha + k2\pi {\rm{ }}\left( {k \in Z} \right). \hfill \cr} \right.
LG e
Tìm giới hạn \mathop {\lim }\limits_{z \to 0} {{f''\left( {\sin 5z} \right) + 2} \over {g'\left( {\sin 3z} \right) + 3}}.
Lời giải chi tiết:
\displaystyle \mathop {\lim }\limits_{z \to 0} {{f''\left( {\sin 5z} \right) + 2} \over {g'\left( {\sin 3z} \right) + 3}} \displaystyle = \mathop {\lim }\limits_{z \to 0} \frac{{6\sin 5z - 2 + 2}}{{2\sin 3z - 3 + 3}} \displaystyle = \mathop {\lim }\limits_{z \to 0} {{6\sin 5z} \over {2\sin 3z}} \displaystyle = 5\mathop {\lim }\limits_{z \to 0} {{{{\sin 5z} \over {5z}}} \over {{{\sin 3z} \over {3z}}}} = 5.
