Giải bài 1.27 trang 37 SBT đại số và giải tích 11

140 lượt xem

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Giải các phương trình sau

LG a

$2\tan x-3\cot x-2=0$

Phương pháp giải:

Tìm ĐKXĐ của phương trình.

Sử dụng công thức $\cot x=\dfrac{1}{\tan x}$ để rút gọn phương trình.

Lời giải chi tiết:

ĐKXĐ: $\left\{ \begin{array}{l} \cos x\ne 0\\\sin x\ne 0 \end{array} \right.$

Ta có: $2\tan x-3\cot x-2=0$

$\Leftrightarrow 2\tan x-\dfrac{3}{\tan x}-2=0$

$\Rightarrow 2{\tan}^2 x-3-2\tan x=0$

$\Leftrightarrow \tan x=\dfrac{1\pm\sqrt{7}}{2}$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = \arctan{\left({\dfrac{1+\sqrt{7}}{2}}\right)}+k\pi ,k \in \mathbb{Z}\\x=\arctan{\left({\dfrac{1-\sqrt{7}}{2}}\right)}+k\pi ,k \in \mathbb{Z}\end{array} \right.$

Các giá trị này thỏa mãn ĐKXĐ nên là nghiệm của phương trình.

LG b

${\cos}^2 x=3\sin 2x+3$

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức nhân đôi để biến đổi phương trình.

Ta thấy $\cos x=0$ không là nghiệm của phương trình nên ta chia hai vế của phương trình cho ${\cos}^2 x$ để rút gọn phương trình.

Sử dụng công thức $1+{\tan}^2 x=\dfrac{1}{{\cos}^2 x}$ .

Lời giải chi tiết:

Ta có: ${\cos}^2 x=3\sin 2x+3$

$\Leftrightarrow {\cos}^2 x=6\sin x\cos x+3$

Ta thấy $\cos x=0$ không là nghiệm của phương trình.

Với $\cos x\ne 0$ ta chia hai vế của phương trình cho ${\cos}^2 x$ ta được

$1=6\tan x+\dfrac{3}{{\cos}^2 x}$

$\Leftrightarrow 1=6\tan x+3(1+{\tan}^2 x)$

$\Leftrightarrow 3{\tan}^2 x+6\tan x+2=0$

$\Leftrightarrow \tan x=\dfrac{-3\pm\sqrt{3}}{3}\Leftrightarrow$

$\left[ \begin{array}{l} x = \arctan{\left({\dfrac{-3+\sqrt{3}}{3}}\right)}+k\pi ,k \in \mathbb{Z}\\x=\arctan{\left({\dfrac{-3-\sqrt{3}}{3}}\right)}+k\pi ,k \in \mathbb{Z}\end{array} \right.$

Các giá trị này thỏa mãn ĐKXĐ nên là nghiệm của phương trình.

LG c

$\cot x-\cot 2x=\tan x+1$

Phương pháp giải:

Tìm ĐKXĐ của phương trình.

Sử dụng công thức $\tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x}$ , $\cot x=\dfrac{\cos x}{\sin x}$ và công thức nhân đôi để rút gọn phương trình.

Lời giải chi tiết:

ĐKXĐ:

$\left\{ \begin{array}{l} \sin x \ne 0\\ \sin 2x \ne 0\\ \cos x \ne 0 \end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \sin 2x \ne 0$ $\Leftrightarrow 2x \ne k\pi$ $\Leftrightarrow x \ne \frac{{k\pi }}{2}$

Ta có: $\cot x-\cot 2x=\tan x+1$

$\Leftrightarrow \dfrac{\cos x}{\sin x}-\dfrac{\cos 2x}{\sin 2x}=\dfrac{\sin x}{\cos x}+1$

$\Leftrightarrow \dfrac{\cos x}{\sin x}-\dfrac{\cos 2x}{2\sin x\cos x}=\dfrac{\sin x}{\cos x}+1$

$\Rightarrow 2{\cos }^2 x-\cos 2x=2{\sin}^2 x+\sin 2x$

$\Leftrightarrow 2({\cos}^2 x-{\sin}^2 x)-\cos 2x=\sin 2x$

$\Leftrightarrow 2\cos 2x-\cos 2x=\sin 2x$

$\Leftrightarrow \cos 2x=\sin 2x$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow \tan 2x = 1\\ \Leftrightarrow 2x = \frac{\pi }{4} + k\pi \\ \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{8} + \frac{{k\pi }}{2},k\in\mathbb{Z} \end{array}$

Các giá trị này thỏa mãn ĐKXĐ nên là nghiệm của phương trình.

SBT Toán lớp 11