Giải các phương trình sau
LG a
\(2\tan x-3\cot x-2=0\)
Phương pháp giải:
Tìm ĐKXĐ của phương trình.
Sử dụng công thức \(\cot x=\dfrac{1}{\tan x}\) để rút gọn phương trình.
Lời giải chi tiết:
ĐKXĐ: \(\left\{ \begin{array}{l} \cos x\ne 0\\\sin x\ne 0 \end{array} \right. \)
Ta có: \(2\tan x-3\cot x-2=0\)
\(\Leftrightarrow 2\tan x-\dfrac{3}{\tan x}-2=0\)
\(\Rightarrow 2{\tan}^2 x-3-2\tan x=0\)
\(\Leftrightarrow \tan x=\dfrac{1\pm\sqrt{7}}{2} \)
\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = \arctan{\left({\dfrac{1+\sqrt{7}}{2}}\right)}+k\pi ,k \in \mathbb{Z}\\x=\arctan{\left({\dfrac{1-\sqrt{7}}{2}}\right)}+k\pi ,k \in \mathbb{Z}\end{array} \right. \)
Các giá trị này thỏa mãn ĐKXĐ nên là nghiệm của phương trình.
LG b
\({\cos}^2 x=3\sin 2x+3\)
Phương pháp giải:
Sử dụng công thức nhân đôi để biến đổi phương trình.
Ta thấy \(\cos x=0\) không là nghiệm của phương trình nên ta chia hai vế của phương trình cho \({\cos}^2 x\) để rút gọn phương trình.
Sử dụng công thức \(1+{\tan}^2 x=\dfrac{1}{{\cos}^2 x}\).
Lời giải chi tiết:
Ta có: \({\cos}^2 x=3\sin 2x+3\)
\(\Leftrightarrow {\cos}^2 x=6\sin x\cos x+3 \)
Ta thấy \(\cos x=0\) không là nghiệm của phương trình.
Với \(\cos x\ne 0\) ta chia hai vế của phương trình cho \({\cos}^2 x\) ta được
\(1=6\tan x+\dfrac{3}{{\cos}^2 x}\)
\(\Leftrightarrow 1=6\tan x+3(1+{\tan}^2 x)\)
\(\Leftrightarrow 3{\tan}^2 x+6\tan x+2=0 \)
\(\Leftrightarrow \tan x=\dfrac{-3\pm\sqrt{3}}{3}\Leftrightarrow \)
\(\left[ \begin{array}{l} x = \arctan{\left({\dfrac{-3+\sqrt{3}}{3}}\right)}+k\pi ,k \in \mathbb{Z}\\x=\arctan{\left({\dfrac{-3-\sqrt{3}}{3}}\right)}+k\pi ,k \in \mathbb{Z}\end{array} \right. \)
Các giá trị này thỏa mãn ĐKXĐ nên là nghiệm của phương trình.
LG c
\(\cot x-\cot 2x=\tan x+1\)
Phương pháp giải:
Tìm ĐKXĐ của phương trình.
Sử dụng công thức \(\tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x}\), \(\cot x=\dfrac{\cos x}{\sin x}\) và công thức nhân đôi để rút gọn phương trình.
Lời giải chi tiết:
ĐKXĐ:
\(\left\{ \begin{array}{l}
\sin x \ne 0\\
\sin 2x \ne 0\\
\cos x \ne 0
\end{array} \right. \) \(\Leftrightarrow \sin 2x \ne 0 \) \(\Leftrightarrow 2x \ne k\pi \) \(\Leftrightarrow x \ne \frac{{k\pi }}{2}\)
Ta có: \(\cot x-\cot 2x=\tan x+1\)
\(\Leftrightarrow \dfrac{\cos x}{\sin x}-\dfrac{\cos 2x}{\sin 2x}=\dfrac{\sin x}{\cos x}+1\)
\(\Leftrightarrow \dfrac{\cos x}{\sin x}-\dfrac{\cos 2x}{2\sin x\cos x}=\dfrac{\sin x}{\cos x}+1\)
\(\Rightarrow 2{\cos }^2 x-\cos 2x=2{\sin}^2 x+\sin 2x\)
\(\Leftrightarrow 2({\cos}^2 x-{\sin}^2 x)-\cos 2x=\sin 2x\)
\(\Leftrightarrow 2\cos 2x-\cos 2x=\sin 2x\)
\(\Leftrightarrow \cos 2x=\sin 2x\)
\(\begin{array}{l}
\Leftrightarrow \tan 2x = 1\\
\Leftrightarrow 2x = \frac{\pi }{4} + k\pi \\
\Leftrightarrow x = \frac{\pi }{8} + \frac{{k\pi }}{2},k\in\mathbb{Z}
\end{array}\)
Các giá trị này thỏa mãn ĐKXĐ nên là nghiệm của phương trình.
