Giải bài 1.49 trang 40 SBT đại số và giải tích 11

149 lượt xem

Đề bài

Giải phương trình sau $2{\sin}^2x+\sin x\cos x-{\cos}^2 x=3$ .

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Phương pháp giải phương trình đẳng cấp đối với $\sin$ và $\cos$ : $a{\sin}^2 x+b\sin x\cos x+c{\cos}^2 x=d$

Bước 1: Xét $\cos x=0$ có là nghiệm của phương trình hay không?

Bước 2: Khi $\cos x\ne0$

- Chia cả 2 vế của phương trình cho ${\cos}^2 x$ ta được: $a\dfrac{{\sin}^2 x}{{\cos}^2 x}+b\dfrac{\sin x}{\cos x}+c=\dfrac{d}{{\cos}^2 x}$

- Sử dụng công thức $\tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x}$ ; $\dfrac{1}{{\cos}^2 x}={\tan}^2 x+1$ đưa phương trình về dạng:

$a{\tan}^2 x+b\tan x+c=d(1+{\tan}^2 x)$ $\Leftrightarrow (a−d){\tan}^2 x+b\tan x+c−d=0$

- Giải phương trình lượng giác cơ bản của $\tan$ :

$\tan x=\tan \alpha$

$\Leftrightarrow x=\alpha+k\pi ,\in\mathbb{Z}$ và đối chiếu với điều kiện.

Lời giải chi tiết

Với $\cos x=0$ ta thấy $VT=2\ne1=VP$ nên không là nghiệm của phương trình.

Với $\cos x\ne 0$ chia hai vế phương trình cho ${\cos}^2 x$ ta được

$2\dfrac{{\sin}^2 x}{{\cos}^2 x}+\dfrac{\sin x}{\cos x}-1=\dfrac{3}{{\cos}^2 x}$

$\Leftrightarrow 2{\tan}^2 x+\tan x-1=3({\tan}^2+1)$

$\Leftrightarrow {\tan}^2 x-\tan x+4=0 \text{(vô nghiệm)}$

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.