Đề bài
Giải phương trình sau \(2{\sin}^2x+\sin x\cos x-{\cos}^2 x=3\).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Phương pháp giải phương trình đẳng cấp đối với \(\sin\) và \(\cos\): \(a{\sin}^2 x+b\sin x\cos x+c{\cos}^2 x=d\)
Bước 1: Xét \(\cos x=0\) có là nghiệm của phương trình hay không?
Bước 2: Khi \(\cos x\ne0\)
- Chia cả 2 vế của phương trình cho \({\cos}^2 x\) ta được: \(a\dfrac{{\sin}^2 x}{{\cos}^2 x}+b\dfrac{\sin x}{\cos x}+c=\dfrac{d}{{\cos}^2 x}\)
- Sử dụng công thức \(\tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x}\); \(\dfrac{1}{{\cos}^2 x}={\tan}^2 x+1\) đưa phương trình về dạng:
\(a{\tan}^2 x+b\tan x+c=d(1+{\tan}^2 x)\)\(\Leftrightarrow (a−d){\tan}^2 x+b\tan x+c−d=0\)
- Giải phương trình lượng giác cơ bản của \(\tan\):
\(\tan x=\tan \alpha\)
\(\Leftrightarrow x=\alpha+k\pi ,\in\mathbb{Z}\) và đối chiếu với điều kiện.
Lời giải chi tiết
Với \(\cos x=0\) ta thấy \(VT=2\ne1=VP\) nên không là nghiệm của phương trình.
Với \(\cos x\ne 0\) chia hai vế phương trình cho \({\cos}^2 x\) ta được
\(2\dfrac{{\sin}^2 x}{{\cos}^2 x}+\dfrac{\sin x}{\cos x}-1=\dfrac{3}{{\cos}^2 x}\)
\(\Leftrightarrow 2{\tan}^2 x+\tan x-1=3({\tan}^2+1)\)
\(\Leftrightarrow {\tan}^2 x-\tan x+4=0 \text{(vô nghiệm)}\)
Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.
