Giải các phương trình sau
LG a
\(2\cos x-\sin x=2\)
Phương pháp giải:
-Phương trình dạng \(a\sin x+b\cos x=c\)
Biến đổi \(VT\) phương trình về dạng
\(a\sin x+b\cos x=\sqrt{a^2+b^2}\sin(x+\alpha)\)
trong đó \(\cos \alpha=\dfrac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}\), \(\sin \alpha=\dfrac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}\) từ đó phương trình trở thành phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác.
-Nghĩa là ta chia hai vế phương trình cho \(\sqrt{a^2+b^2}\)
-Sử dụng công thức \(\cos(a-b)=\cos a\cos b+\sin a\sin b\) để thu gọn phương trình.
Lời giải chi tiết:
Ta có \(2\cos x-\sin x=2\)
\(\Leftrightarrow \dfrac{2}{\sqrt{5}}\cos x-\dfrac{1}{\sqrt{5}}\sin x=\dfrac{2}{\sqrt{5}}\)
Ký hiệu \(\alpha\) là góc mà \(\cos\alpha=\dfrac{2}{\sqrt{5}}\) và \(\sin\alpha=-\dfrac{1}{\sqrt{5}}\)
Ta thu được phương trình
\(\cos \alpha\cos x+\sin\alpha\sin x=\cos\alpha\)
\(\Leftrightarrow \cos (x-\alpha)=\cos\alpha\)
\(\Leftrightarrow x-\alpha=\pm\alpha+k2\pi,k\in\mathbb{Z}\)
\(\Leftrightarrow\left[ \begin{array}{l} x = 2\alpha+k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\\x=k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\end{array} \right. \)
Vậy phương trình có nghiệm là \(x = 2\alpha+k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\) và \(x=k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\).
LG b
\(\sin 5x+\cos 5x=-1\)
Phương pháp giải:
-Phương trình dạng \(a\sin x+b\cos x=c\)
Biến đổi \(VT\) phương trình về dạng
\(a\sin x+b\cos x=\sqrt{a^2+b^2}\sin(x+\alpha)\)
trong đó \(\cos \alpha=\dfrac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}\), \(\sin \alpha=\dfrac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}\) từ đó phương trình trở thành phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác.
-Nghĩa là ta chia hai vế phương trình cho \(\sqrt{a^2+b^2}\)
-Sử dụng công thức \(\sin(a+b)=\sin a\cos b+\cos a\sin b\) để thu gọn phương trình.
Lời giải chi tiết:
Ta có \(\sin 5x+\cos 5x=-1\)
\(\Leftrightarrow \dfrac{1}{\sqrt{2}}\cos 5x+\dfrac{1}{\sqrt{2}}\sin 5x=-\dfrac{1}{\sqrt{2}}\)
Trong đó \(\cos\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\), \(\sin \dfrac{\pi}{4}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\) và \(\sin {\left({-\dfrac{\pi}{4}}\right)}=-\dfrac{1}{\sqrt{2}}\)
Ta thu được phương trình
\(\cos \dfrac{\pi}{4}\sin 5x+\sin\dfrac{\pi}{4}\cos 5x=\sin {\left({-\dfrac{\pi}{4}}\right)}\)
\(\Leftrightarrow \sin (5x+\dfrac{\pi}{4})=\sin {\left({-\dfrac{\pi}{4}}\right)}\Leftrightarrow\)
\(\left[ \begin{array}{l} 5x+\dfrac{\pi}{4} = -\dfrac{\pi}{4}+k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\\5x+\dfrac{\pi}{4}=\pi-{\left({-\dfrac{\pi}{4}}\right)}+k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\end{array} \right. \)
\(\Leftrightarrow\left[ \begin{array}{l} x= -\dfrac{\pi}{10}+k\dfrac{2\pi}{5} ,k \in \mathbb{Z}\\x=\dfrac{\pi}{5}+k\dfrac{2\pi}{5} ,k \in \mathbb{Z}\end{array} \right. \)
Vậy phương trình có nghiệm là \(x= -\dfrac{\pi}{10}+k\dfrac{2\pi}{5} ,k \in \mathbb{Z}\) và \(x=\dfrac{\pi}{5}+k\dfrac{2\pi}{5} ,k \in \mathbb{Z}\).
LG c
\(8{\cos}^4 x-4\cos 2x+\sin 4x-4=0\)
Phương pháp giải:
-Sử dụng công thức nhân đôi để thu gọn phương trình.
-Phương trình dạng \(a\sin x+b\cos x=c\)
Biến đổi \(VT\) phương trình về dạng
\(a\sin x+b\cos x=\sqrt{a^2+b^2}\sin(x+\alpha)\)
trong đó \(\cos \alpha=\dfrac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}\), \(\sin \alpha=\dfrac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}\) từ đó phương trình trở thành phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác.
-Nghĩa là ta chia hai vế phương trình cho \(\sqrt{a^2+b^2}\)
-Sử dụng công thức khai triển \(\sin\) của một tổng để thu gọn phương trình.
Lời giải chi tiết:
Ta có \(8{\cos}^4 x-4\cos 2x+\sin 4x-4=0\)
\(\Leftrightarrow 8{\left({\dfrac{1+\cos 2x}{2}}\right)}^2\)
\(-4\cos 2x+\sin 4x-4=0\)
\(\Leftrightarrow 2(1+2\cos 2x+{\cos}^2 2x)\)
\(-4\cos 2x+\sin 4x-4=0\)
\(\Leftrightarrow 2{\cos}^2 2x+\sin 4x-2=0\)
\(\Leftrightarrow 1+\cos 4x+\sin 4x-2=0\)
\(\Leftrightarrow \cos 4x+\sin 4x=1\)
\(\Leftrightarrow \dfrac{1}{\sqrt{2}}\cos 4x+\dfrac{1}{\sqrt{2}}\sin 4x=\sin\dfrac{\pi}{4}\)
\(\Leftrightarrow \sin\dfrac{\pi}{4}\cos 4x+\cos\dfrac{\pi}{4}\sin 4x=\sin\dfrac{\pi}{4}\)
\(\Leftrightarrow \sin{\left({4x+\dfrac{\pi}{4}}\right)}=\sin\dfrac{\pi}{4}\)
\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} 4x+\dfrac{\pi}{4} = \dfrac{\pi}{4}+k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\\4x+\dfrac{\pi}{4}=\pi-\dfrac{\pi}{4}+k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\end{array} \right. \)
\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x=k\dfrac{\pi}{2},k \in \mathbb{Z}\\x=\dfrac{\pi}{8}+k\dfrac{\pi}{2} ,k \in \mathbb{Z}\end{array} \right. \)
Vậy phương trình có nghiệm là \(x=k\dfrac{\pi}{2},k \in \mathbb{Z}\) và \(x=\dfrac{\pi}{8}+k\dfrac{\pi}{2} ,k \in \mathbb{Z}\).
LG d
\({\sin}^6 x+{\cos}^6+\dfrac{1}{2}\sin 4x=0\)
Phương pháp giải:
-Thêm bớt \(VT\) thành hằng đẳng thức.
-Sử dụng công thức nhân đôi.
-Phương trình dạng \(a\sin x+b\cos x=c\)
Biến đổi \(VT\) phương trình về dạng
\(a\sin x+b\cos x=\sqrt{a^2+b^2}\sin(x+\alpha)\)
trong đó \(\cos \alpha=\dfrac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}\), \(\sin \alpha=\dfrac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}\) từ đó phương trình trở thành phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác.
-Nghĩa là ta chia hai vế phương trình cho \(\sqrt{a^2+b^2}\)
-Sử dụng công thức khai triển \(\sin\) của một tổng để thu gọn phương trình.
Lời giải chi tiết:
Ta có \({\sin}^6 x+{\cos}^6 x+\dfrac{1}{2}\sin 4x=0\)
\(\Leftrightarrow ({{\sin}^2 x+{\cos}^2 x)}^3\)
\(-3{\sin}^2 x{\cos}^2 x({\sin}^2 x+{\cos}^2 x)\)
\(+\dfrac{1}{2}\sin 4x=0\)
\(\Leftrightarrow 1-3{\sin}^2 x{\cos}^2 x+\dfrac{1}{2}\sin 4x=0\)
\(\Leftrightarrow 1-3{\left({\dfrac{\sin 2x}{2}}\right)}^2+\dfrac{1}{2}\sin 4x=0\)
\(\Leftrightarrow 1-\dfrac{3}{4}{\sin}^2 2x+\dfrac{1}{2}\sin 4x=0\)
\(\Leftrightarrow 1-\dfrac{3}{4}\dfrac{1-\cos 4x}{2}+\dfrac{1}{2}\sin 4x=0\)
\(\Leftrightarrow 8-3+3\cos 4x+4\sin 4x=0\)
\(\Leftrightarrow 3\cos 4x+4\sin 4x=-5\)
\(\Leftrightarrow \dfrac{3}{5}\cos 4x+\dfrac{4}{5}\sin 4x=-1\)
Đặt \(\dfrac{3}{5}=\sin\alpha\), \(\dfrac{4}{5}=\cos\alpha\) ta được
\(\sin\alpha\cos 4x+\cos \alpha\sin 4x=-1\)
\(\Leftrightarrow \sin (4x+\alpha)=-1\)
\(\Leftrightarrow 4x+\alpha=\dfrac{3\pi}{2}+k2\pi,k\in\mathbb{Z}\)
\(\Leftrightarrow x=\dfrac{3\pi}{8}-\dfrac{\alpha}{4}+k\dfrac{\pi}{2},k\in\mathbb{Z}\)
Vậu phương trình có nghiệm là \(x=\dfrac{3\pi}{8}-\dfrac{\alpha}{4}+k\dfrac{\pi}{2},k\in\mathbb{Z}\).
