Giải bài 3.4 trang 130 SBT hình học 11

149 lượt xem

Đề bài

Cho hình lăng trụ tam giác $ABC.A’B’C’$ có độ dài cạnh bên bằng $a$ . Trên các cạnh bên $AA’,BB’,CC’$ ta lấy tương ứng các điểm $M, N, P$ sao cho $AM + BN + CP = a$

Chứng minh rằng mặt phẳng $(MNP)$ luôn luôn đi qua một điểm cố định.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Gọi $G'$ là trọng tâm tam giác $MNP$ và chúng minh $G'$ cố định.

Lời giải chi tiết

Gọi G và G’ lần lượt là trọng tâm của tam giác ABC và tam giác MNP . Ta có:

$\displaystyle \eqalign{ & \,\,\,\,\overrightarrow {GG'} = \overrightarrow {GA} + \overrightarrow {AM} + \overrightarrow {MG'} \cr & + \,\,\overrightarrow {GG'} = \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {BN} + \overrightarrow {NG'} \cr & \,\,\,\,\,\overrightarrow {GG'} = \overrightarrow {GC} + \overrightarrow {CP} + \overrightarrow {PG'} \cr}$

Cộng từng vế với vế ta có:

$\displaystyle 3\overrightarrow {GG'} = \left( {\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} } \right)$ $\displaystyle + \left( {\overrightarrow {AM} + \overrightarrow {BN} + \overrightarrow {CP} } \right)$ $\displaystyle + \left( {\overrightarrow {MG'} + \overrightarrow {NG'} + \overrightarrow {PG'} } \right)$

Vì G là trọng tâm của tam giác ABC nên $\displaystyle \overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} = \overrightarrow 0$ và G’ là trọng tâm của tam giác MNP nên $\displaystyle \overrightarrow {MG'} + \overrightarrow {NG'} + \overrightarrow {PG'} = \overrightarrow 0$ .

Do đó: $\displaystyle 3\overrightarrow {GG'} = \overrightarrow {AM} + \overrightarrow {BN} + \overrightarrow {CP}$

Hay $\displaystyle \overrightarrow {GG'} = {1 \over 3}\left( {\overrightarrow {AM} + \overrightarrow {BN} + \overrightarrow {CP} } \right)$ $\displaystyle = {1 \over 3}\overrightarrow {AA'}$

Vì điểm G cố định và $\displaystyle {1 \over 3}\overrightarrow {AA'}$ là vectơ không đổi nên G’ là điểm cố định. Vậy mặt phẳng (MNP) luôn luôn đi qua điểm G’ cố định.

SBT Toán lớp 11