Đề bài
Cho hình lăng trụ tam giác \(ABC.A’B’C’\) có độ dài cạnh bên bằng \(a\). Trên các cạnh bên \(AA’,BB’,CC’\) ta lấy tương ứng các điểm \(M, N, P\) sao cho \(AM + BN + CP = a\)
Chứng minh rằng mặt phẳng \((MNP)\) luôn luôn đi qua một điểm cố định.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Gọi \(G'\) là trọng tâm tam giác \(MNP\) và chúng minh \(G'\) cố định.
Lời giải chi tiết
Gọi G và G’ lần lượt là trọng tâm của tam giác ABC và tam giác MNP . Ta có:
\(\displaystyle \eqalign{
& \,\,\,\,\overrightarrow {GG'} = \overrightarrow {GA} + \overrightarrow {AM} + \overrightarrow {MG'} \cr
& + \,\,\overrightarrow {GG'} = \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {BN} + \overrightarrow {NG'} \cr
& \,\,\,\,\,\overrightarrow {GG'} = \overrightarrow {GC} + \overrightarrow {CP} + \overrightarrow {PG'} \cr} \)
Cộng từng vế với vế ta có:
\(\displaystyle 3\overrightarrow {GG'} = \left( {\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} } \right) \) \(\displaystyle + \left( {\overrightarrow {AM} + \overrightarrow {BN} + \overrightarrow {CP} } \right) \) \(\displaystyle + \left( {\overrightarrow {MG'} + \overrightarrow {NG'} + \overrightarrow {PG'} } \right)\)
Vì G là trọng tâm của tam giác ABC nên \(\displaystyle \overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} = \overrightarrow 0 \) và G’ là trọng tâm của tam giác MNP nên \(\displaystyle \overrightarrow {MG'} + \overrightarrow {NG'} + \overrightarrow {PG'} = \overrightarrow 0 \).
Do đó: \(\displaystyle 3\overrightarrow {GG'} = \overrightarrow {AM} + \overrightarrow {BN} + \overrightarrow {CP} \)
Hay \(\displaystyle \overrightarrow {GG'} = {1 \over 3}\left( {\overrightarrow {AM} + \overrightarrow {BN} + \overrightarrow {CP} } \right) \) \(\displaystyle = {1 \over 3}\overrightarrow {AA'} \)
Vì điểm G cố định và \(\displaystyle {1 \over 3}\overrightarrow {AA'} \) là vectơ không đổi nên G’ là điểm cố định. Vậy mặt phẳng (MNP) luôn luôn đi qua điểm G’ cố định.
