Chứng minh rằng f′(x)=0∀x∈R, nếu:
LG a
f(x)=3(sin4x+cos4x) −2(sin6x+cos6x)
Phương pháp giải:
Chứng minh các biểu thức đã cho không phụ thuộc vào x.
Từ đó suy ra f′(x)=0.
Lời giải chi tiết:
f(x)=3[(sin2x+cos2x)2−2sin2xcos2x]−2[(sin2x+cos2x)3−3sin2xcos2x(sin2x+cos2x)]=3[1−2sin2xcos2x]−2[1−3sin2xcos2x]=3−6sin2xcos2x−2+6sin2xcos2x=1⇒f′(x)=0
LG b
f(x)=cos6x+2sin4xcos2x +3sin2xcos4x+sin4x
Lời giải chi tiết:
f(x)=(cos6x+3sin2xcos4x)+(2sin4xcos2x+sin4x)=cos4x(cos2x+3sin2x)+sin4x(2cos2x+1)=cos4x(1+2sin2x)+sin4x(2cos2x+1)=cos4x+2sin2xcos4x+2sin4xcos2x+sin4x=(cos4x+sin4x)+2sin2xcos2x(cos2x+sin2x)=(sin2x+cos2x)2−2sin2xcos2x+2sin2xcos2x=1⇒f′(x)=0
LG c
f(x)=cos(x−π3)cos(x+π4) +cos(x+π6)cos(x+3π4)
Lời giải chi tiết:
f(x)=(cosxcosπ3+sinxsinπ3)(cosxcosπ4−sinxsinπ4)+(cosxcosπ6−sinxsinπ6)(cosxcos3π4−sinxsin3π4)=(12cosx+√32sinx)(√22cosx−√22sinx)+(√32cosx−12sinx)(−√22cosx−√22sinx)=√24cos2x+√64sinxcosx−√24sinxcosx−√64sin2x−√64cos2x+√24sinxcosx−√64sinxcosx+√24sin2x=√2−√64cos2x+√2−√64sin2x=√2−√64(cos2x+sin2x)=√2−√64⇒f′(x)=0
LG d
f(x)=cos2x+cos2(2π3+x)+cos2(2π3−x).
Lời giải chi tiết:
f(x)=cos2x+cos2(2π3+x)+cos2(2π3−x)=cos2x+(cos2π3cosx−sin2π3sinx)2+(cos2π3cosx+sin2π3sinx)2=cos2x+(−12cosx−√32sinx)2+(−12cosx+√32sinx)2=cos2x+(14cos2x+√32sinxcosx+34sin2x)+(14cos2x−√32sinxcosx+34sin2x)=cos2x+12cos2x+32sin2x=32cos2x+32sin2x=32(cos2x+sin2x)=32⇒f′(x)=0