Đề bài
Trong mặt phẳng \(Oxy\) cho đường thẳng \(d\) có phương trình \(2x + y - 3 = 0\). Phép vị tự tâm \(O\) tỉ số \(k = 2\) biến \(d\) thành đường thẳng có phương trình
A. \(2x + y + 3 = 0\)
B. \(2x + y - 6 = 0\)
C. \(4x - 2y - 3 = 0\)
D. \(4x + 2y - 5 = 0\)
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng tính chất của phép vị tự, biến đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với nó
Lời giải chi tiết
Gọi phương trình \(d':2x + y + c = 0\).
Lấy \(A\left( {0;3} \right) \in d\), gọi \(A' = {V_{\left( {O;2} \right)}}\left( A \right)\) thì \(\overrightarrow {OA'} = 2\overrightarrow {OA} \) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x' - 0 = 2\left( {0 - 0} \right)\\y' - 0 = 2\left( {3 - 0} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x' = 0\\y' = 6\end{array} \right.\).
Suy ra \(A'\left( {0;6} \right)\).
Mà \(A' \in d'\) nên \(2.0 + 6 + c = 0 \Leftrightarrow c = - 6\).
Vậy \(d':2x + y - 6 = 0\).
Chọn B.
Cách khác:
Gọi \(M\left( {x;y} \right)\) bất kì thuộc d.
\(M' = {V_{\left( {O;2} \right)}}\left( M \right) \Leftrightarrow \overrightarrow {OM'} = 2\overrightarrow {OM} \) \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x' = 2x\\
y' = 2y
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = \frac{{x'}}{2}\\
y = \frac{{y'}}{2}
\end{array} \right.\)
Do M thuộc d nên thay \(x = \frac{{x'}}{2}\) và \(y = \frac{{y'}}{2}\) vào phương trình của d ta được:
\(2.\frac{{x'}}{2} + \frac{{y'}}{2} - 3 = 0 \Leftrightarrow 2x' + y' - 6 = 0\)
Vậy \(d':2x + y - 6 = 0\).
