Chọn đáp án đúng:
4.27
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {{x^3} + {x^2} + 1} \right)\) bằng:
A. 1 B. +∞ C. -∞ D. -1
Lời giải chi tiết:
Cách 1: Chọn đáp án từ nhận xét “Giới hạn của đa thức bậc lẻ với hệ số của biến bậc cao nhất là a, khi x → -∞ bằng +∞ (nếu a âm), bằng -∞ (nếu a dương)”.
Cách 2: Tính trực tiếp giới hạn.
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {{x^3} + {x^2} + 1} \right)\)\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {x^3}\left( {1 + \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{{{x^3}}}} \right)\)
Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {x^3} = - \infty \) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {1 + \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{{{x^3}}}} \right) = 1 > 0\) nên \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {{x^3} + {x^2} + 1} \right) = - \infty \)
Chọn đáp án: C
4.28
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{{{\left( {1 + x} \right)}^3} - 1}}{x}\) bằng:
A. 0 B. 1 C. 3 D. +∞
Phương pháp giải:
Tính giới hạn bằng cách phân tích tử số ra thừa số.
Lời giải chi tiết:
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{{{\left( {1 + x} \right)}^3} - 1}}{x}\)\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{1 + 3x + 3{x^2} + {x^3} - 1}}{x}\) \( = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{x\left( {3 + 3x + {x^2}} \right)}}{x}\) \( = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( {3 + 3x + {x^2}} \right)\) \( = 3 + 3.0 + {0^2} = 3\)
Chọn đáp án: C
4.29
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} \dfrac{{\sqrt {{x^2} + 5} - 3}}{{x + 2}}\) bằng:
A. 0 B. 1 C. -2/3 D. -∞
Phương pháp giải:
Tính giới hạn bằng cách nhân tử số và mẫu số với biểu thức liên hợp của tử số.
Lời giải chi tiết:
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} \dfrac{{\sqrt {{x^2} + 5} - 3}}{{x + 2}}\)
\(\begin{array}{l} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} \dfrac{{\left( {\sqrt {{x^2} + 5} - 3} \right)\left( {\sqrt {{x^2} + 5} + 3} \right)}}{{\left( {x + 2} \right)\left( {\sqrt {{x^2} + 5} + 3} \right)}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} \dfrac{{{x^2} + 5 - 9}}{{\left( {x + 2} \right)\left( {\sqrt {{x^2} + 5} + 3} \right)}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} \dfrac{{{x^2} - 4}}{{\left( {x + 2} \right)\left( {\sqrt {{x^2} + 5} + 3} \right)}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} \dfrac{{\left( {x + 2} \right)\left( {x - 2} \right)}}{{\left( {x + 2} \right)\left( {\sqrt {{x^2} + 5} + 3} \right)}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} \dfrac{{x - 2}}{{\sqrt {{x^2} + 5} + 3}}\\ = \dfrac{{ - 2 - 2}}{{\sqrt {4 + 5} + 3}} = - \dfrac{2}{3}\end{array}\)
Chọn đáp án: C
4.30
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \dfrac{{2{x^4} + 15x + 6}}{{{x^3} - 5x + 2}}\) bằng:
A. 2 B. 3 C. +∞ D. -∞
Phương pháp giải:
Tính giới hạn bằng cách chia tử số và mẫu số cho x3 hoặc x4.
Lời giải chi tiết:
Cách 1:
\(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \dfrac{{2{x^4} + 15x + 6}}{{{x^3} - 5x + 2}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \dfrac{{{x^4}\left( {2 + \dfrac{{15}}{{{x^3}}} + \dfrac{6}{{{x^4}}}} \right)}}{{{x^4}\left( {\dfrac{1}{x} - \dfrac{5}{{{x^3}}} + \dfrac{2}{{{x^4}}}} \right)}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \dfrac{{2 + \dfrac{{15}}{{{x^3}}} + \dfrac{6}{{{x^4}}}}}{{\dfrac{1}{x} - \dfrac{5}{{{x^3}}} + \dfrac{2}{{{x^4}}}}}\\ = - \infty \end{array}\)
Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {2 + \dfrac{{15}}{{{x^3}}} + \dfrac{6}{{{x^4}}}} \right) = 2 > 0\) và \(\left\{ \begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {\dfrac{1}{x} - \dfrac{5}{{{x^3}}} + \dfrac{2}{{{x^4}}}} \right) = 0\\\dfrac{1}{x} - \dfrac{5}{{{x^3}}} + \dfrac{2}{{{x^4}}} < 0,\forall x < 0\end{array} \right.\)
Cách 2:
\(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \dfrac{{2{x^4} + 15x + 6}}{{{x^3} - 5x + 2}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \dfrac{{{x^4}\left( {2 + \dfrac{{15}}{{{x^3}}} + \dfrac{6}{{{x^4}}}} \right)}}{{{x^3}\left( {1 - \dfrac{5}{{{x^2}}} + \dfrac{2}{{{x^3}}}} \right)}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left[ {x.\dfrac{{2 + \dfrac{{15}}{{{x^3}}} + \dfrac{6}{{{x^4}}}}}{{1 - \dfrac{5}{{{x^2}}} + \dfrac{2}{{{x^3}}}}}} \right]\\ = - \infty \end{array}\)
Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } x = - \infty \) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \dfrac{{2 + \dfrac{{15}}{{{x^3}}} + \dfrac{6}{{{x^4}}}}}{{1 - \dfrac{5}{{{x^2}}} + \dfrac{2}{{{x^3}}}}}\)\( = \dfrac{{2 + 0 + 0}}{{1 - 0 + 0}} = 2 > 0\)
Chọn đáp án: D
4.31
Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}mx + 2\,neu\,x \le 1\\\dfrac{1}{{x - 1}} - \dfrac{3}{{{x^3} - 1}}\,neu\,x > 1\end{array} \right.\)
Với giá trị nào của tham số m thì hàm số f(x) có giới hạn khi x → 1?
A. m = -1 B. m = 1
C. m = -2 D. m = 2
Phương pháp giải:
Tính giới hạn trái, giới hạn phải và cho bằng nhau để tính m.
Lời giải chi tiết:
Ta có:
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left( {mx + 2} \right) = m + 2\)
\(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right)\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \left( {\dfrac{1}{{x - 1}} - \dfrac{3}{{{x^3} - 1}}} \right)\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \dfrac{{{x^2} + x + 1 - 3}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \dfrac{{{x^2} + x - 2}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \dfrac{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 2} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \dfrac{{x + 2}}{{{x^2} + x + 1}}\\ = \dfrac{{1 + 2}}{{1 + 1 + 1}} = 1\end{array}\)
Để hàm số có giới hạn khi \(x \to 1\) thì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right)\) \( \Leftrightarrow 2m + 3 = 1 \Leftrightarrow m = - 1\)
Chọn đáp án: A
