Giải bài 2.28 trang 77 SBT hình học 11

132 lượt xem

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

LG a
LG b

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình bình hành $ABCD$ , $O$ là giao điểm hai đường chéo, $AC = a$ , $BD = b$ , tam giác $SBD$ đều. Gọi $I$ là điểm di động trên đoạn $AC$ với $AI=x$ $(0<x<a)$ . Lấy $\alpha$ là mặt phẳng đi qua $I$ và song song với mặt phẳng $(SBD)$ .

LG a

Xác định thiết diện của mặt phẳng $\alpha$ với hình chóp $S.ABCD$

Phương pháp giải:

Xác định thiết diện của mẳt phẳng $(\alpha)$ với mộ thình chóp khi biết $(\alpha)$ song song với một mặt phẳng nào đó trong hình chóp.

- Sử dụng tính chất khi $(\alpha)$ song song với $(\beta)$ thì $(\alpha)$ sẽ song song với mọi đường thẳng thuộc $(\beta)$ .

- Tìm đường thẳng $d$ nằm trong mặt phẳng $(\beta)$ .

- Vì $(\alpha)\parallel d$ nên $(\alpha)$ cắt những mặt phẳng chứa $d$ theo các giao tuyến song song với $d$ .

Lời giải chi tiết:

Trường hợp 1: $I$ thuộc đoạn $AO$ $(0<x<\dfrac{a}{2})$ .

Khi đó $I$ nằm ở vị trí $I_1$ .

Ta có: $(\alpha)\parallel (SBD)$

$\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}(\alpha )\parallel BD\\(\alpha )\parallel SO\end{array} \right.$

Vì $(\alpha)\parallel BD$ nên $(\alpha)$ cắt $(ABD)$ theo giao tuyến $M_1N_1$ qua $I_1$ song song với $BD$ .

Vì $(\alpha)\parallel SO$ nên $(\alpha)$ cắt $(SOA)$ theo giao tuyến $S_1I_1$ song song với $SO$ .

Nên ta có thiết diện trong trường hợp này là tam giác $S_1M_1N_1$ .

Trường hợp 2: $I$ thuộc đoạn $OC$ $(\dfrac{a}{2}<x<a)$ .

Khi đó $I$ nằm ở vị trí $I_2$ .

Tương tự thiết diện trong trường hợp này là tam giác $S_2M_2N_2$ trong đó $M_2N_2\parallel BD$ , $S_2M_2\parallel SB$ , $S_2N_2\parallel SD$ .

Trường hợp 3: $I\equiv O$ khi đó thiết diện là tam giác $SBD$ .

LG b

Tìm diện tích $S$ của thiết diện ở câu a) theo $a$ , $b$ , $x$ . Tìm $x$ để $S$ lớn nhất

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức tích hai cạnh kề nhân $sin$ góc xen giữa để tính điên tích tam giác.

Sử dụng giả thiết đề bài cho là $SBD$ là tam giác đều.

Sử dụng tỉ lệ diện tích để tính.

Vẽ đồ thị hàm số dạng Parabol $y=x^2$ .

Lời giải chi tiết:

Trường hợp 1: $I$ thuộc đoạn $OA$ $(0<x<\dfrac{a}{2})$

Ta có: $\dfrac{S_{S_1M_1N_1}}{S_{SBD}}={\left({\dfrac{M_1N_2}{BD}}\right)}^2={\left({\dfrac{2x}{a}}\right)}^2$

$\Rightarrow S_{S_1M_1N_1}={\left({\dfrac{M_1N_1}{BD}}\right)}^2S_{SBD}$

$=\dfrac{4x^2}{a^2}.\dfrac{b^2\sqrt{3}}{4}=\dfrac{b^2x^2\sqrt{3}}{a^2}$ .

Trường hợp 2: $I$ thuộc đoạn $OA$ $(\dfrac{a}{2}<x<a)$

Ta có: $\dfrac{S_{S_1M_1N_1}}{S_{SBD}}={\left({\dfrac{M_1N_2}{BD}}\right)}^2$

$={\left[{\dfrac{2(a-x)}{a}}\right]}^2$

$\Rightarrow S_{S_2M_2N_2}={\left({\dfrac{M_2N_2}{BD}}\right)}^2S_{SBD}$

$=\dfrac{4{(a-x)}^2}{a^2}.\dfrac{b^2\sqrt{3}}{4}=\dfrac{b^2{(a-x)}^2\sqrt{3}}{a^2}$ .

Trường hợp 3. $I\equiv O$ $S_{SBD}=\dfrac{b^2\sqrt{3}}{4}$ .

Vậy ${S_\text{thiết diện}}$

$= \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{{b^2}{x^2}\sqrt 3 }}{{{a^2}}}\text{ nếu }0 < x < \dfrac{a}{2}\\\dfrac{{{b^2}\sqrt 3 }}{4}\text{ nếu } x= \dfrac{a}{2}\\\dfrac{{{b^2}{{(a - x)}^2}\sqrt 3 }}{{{a^2}}}\text{ nếu }\dfrac{a}{2} < x < a\end{array} \right.$

Đồ thị của hàm số $S$ theo biến $x$ như sau:

Vậy ${S_\text{thiết diện}}$ lớn nhất là $b^2\dfrac{\sqrt{3}}{4}$ khi và chỉ khi $x=\dfrac{a}{2}$ .

SBT Toán lớp 11