Đề bài
Cho hàm số y=f(x) xác định trên khoảng (a;+∞)
Chứng minh rằng nếu lim thì luôn tồn tại ít nhất một số c thuộc \left( {a; + \infty } \right) sao cho f\left( c \right) < 0
Lời giải chi tiết
Vì \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = - \infty nên với dãy số \left( {{x_n}} \right) bất kì, {x_n} > a và {x_n} \to + \infty ta luôn có \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } f\left( x \right) = - \infty
Do đó \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left[ { - f\left( {{x_n}} \right)} \right] = + \infty
Theo định nghĩa suy ra - f\left( {{x_n}} \right) có thể lớn hơn một số dương bất kì, kể từ một số hạng nào đó trở đi.
Nếu số dương này là 2 thì - f\left( {{x_n}} \right) > 2 kể từ một số hạng nàođó trởđi.
Nói cách khác, luôn tồn tại ít nhất một số {x_k} \in \left( {a; + \infty } \right) sao cho - f\left( {{x_k}} \right) > 2 hay f\left( {{x_k}} \right) < - 2 < 0
Đặt c = {x_k} ta có f\left( c \right) < 0
