Đề bài
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) xác định trên khoảng \(\left( {a; + \infty } \right)\)
Chứng minh rằng nếu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = - \infty \) thì luôn tồn tại ít nhất một số c thuộc \(\left( {a; + \infty } \right)\) sao cho \(f\left( c \right) < 0\)
Lời giải chi tiết
Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = - \infty \) nên với dãy số \(\left( {{x_n}} \right)\) bất kì, \({x_n} > a\) và \({x_n} \to + \infty \) ta luôn có \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } f\left( x \right) = - \infty \)
Do đó \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left[ { - f\left( {{x_n}} \right)} \right] = + \infty \)
Theo định nghĩa suy ra \( - f\left( {{x_n}} \right)\) có thể lớn hơn một số dương bất kì, kể từ một số hạng nào đó trở đi.
Nếu số dương này là 2 thì \( - f\left( {{x_n}} \right) > 2\) kể từ một số hạng nàođó trởđi.
Nói cách khác, luôn tồn tại ít nhất một số \({x_k} \in \left( {a; + \infty } \right)\) sao cho \( - f\left( {{x_k}} \right) > 2\) hay \(f\left( {{x_k}} \right) < - 2 < 0\)
Đặt \(c = {x_k}\) ta có \(f\left( c \right) < 0\)
