Đề bài
Cho tứ diện ABCD. Chứng minh rằng AB vuông góc với CD khi và chỉ khi
AC2+BD2=AD2+BC2
Lời giải chi tiết
Giả sử AB⊥CD ta phải chứng minh AC2+BD2=AD2+BC2.
Thật vậy, kẻ BE⊥CD tại E, do AB⊥CD ta suy ra CD⊥(ABE) nên CD⊥AE. Áp dụng định lí Py-ta-go cho các tam giác vuông AEC, BEC, AED và BED ta có:
AC2=AE2+CE2BD2=BE2+ED2BC2=AE2+EC2AD2=AE2+ED2
Từ đó ta suy ra AC2+BD2=AD2+BC2
Ngược lại nếu tứ diện ABCD có AC2+BD2=AD2+BC2 thì: AC2−AD2=BC2−BD2.
Nếu AC2−AD2=BC2−BD2=k2 thì trong mặt phẳng (ACD) điểm A thuộc đường thẳng vuông góc với CD tại điểm H trên tia ID với I là trung điểm của CD sao cho IH2=k22CD.
Tương tự điểm B thuộc đường thẳng vuông góc với CD cũng tại điểm H nói trên. Từ đó suy ra CD vuông góc với mặt phẳng (ABH) hay CD⊥AB.
Nếu AC2−AD2=BC2−BD2=−k2 thì ta có và đưa về trường hợp xét như trên AD2−AC2=BD2−BC2=−k2.
Chú ý. Từ kết quả của bài toán trên ta suy ra:
Tứ diện ABCD có các cặp cạnh đối diện vuông góc với nhau khi và chỉ khi AB2+CD2=AC2+BC2.
