Đề bài
Xác định hệ số của số hạng chứa \({x^4}\) trong khai triển \({\left( {{x^2} - \dfrac{2}{x}} \right)^n}\) nếu biết tổng các hệ số của ba số hạng đầu trong khai triển đó bằng \(97\).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng công thức khai triển nhị thức Niu-tơn:
\({\left( {a + b} \right)^n} \)
\(= C_n^0{a^n} + C_n^1{a^{n - 1}}b + ... \)
\(+ C_n^{n - 1}a{b^{n - 1}} + C_n^n{b^n}\) với \(a=x^2, b=-\dfrac{2}{x}\).
Tính tổng các hệ số của ba số hạng đầu đồng nhất với giá trị đề bài cho để tìm \(n\).
Sau đó thay \(n\) vào khai triển \({\left( {{x^2} - \dfrac{2}{x}} \right)^n}\) sử dụng các công thức nhân, chia lũy thừa cùng cơ số, sử dụng công thức lũy thừa của lũy thừa: \(x^m.x^n=x^{m+n}\); \(\dfrac{x^m}{x^n}=x^{m−n}\); \({\left( {{x^\alpha }} \right)^\beta } = {x^{\alpha .\beta }}\) để thu gọn biểu thức.
Để tìm hệ số của \(x^4\) ta cho số mũ của \(x\) bằng \(4\), giải phương trình tìm \(k\) và tính hệ số của \(x^4\).
Lời giải chi tiết
Ta có \({\left( {{x^2} - \dfrac{2}{x}} \right)^n} = C_n^0{\left( {{x^2}} \right)^n} +\)
\(C_n^1{\left( {{x^2}} \right)^{n - 1}}.\left( { - \dfrac{2}{x}} \right) +\)
\(C_n^2{\left( {{x^2}} \right)^{n - 2}}.{\left( { - \dfrac{2}{x}} \right)^2} + ...\)
Theo giả thiết, ta có:
\(\begin{array}{l}C_n^0 - 2C_n^1 + 4C_n^2 = 97\\ \Leftrightarrow 1 - 2n + 2n\left( {n - 1} \right) - 97 = 0\\ \Leftrightarrow {n^2} - 2n - 48 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}n = 8\\n = - 6{\rm{ }}\left( \text{loại} \right)\end{array} \right.\end{array}\)
Vậy \(n = 8.\)
Từ đó ta có: \({\left( {{x^2} - \dfrac{2}{x}} \right)^8} \)
SHTQ: \(T_{k+1}= {C_8^k{{\left( {{x^2}} \right)}^{8 - k}}{{\left( { - \dfrac{2}{x}} \right)}^k} }\)
\( = C_8^k.{x^{16 - 2k}}.\frac{{{{\left( { - 2} \right)}^k}}}{{{x^k}}} \) \(= C_8^k{x^{16 - 2k - k}}{\left( { - 2} \right)^k}\)
\(={{{\left( { - 2} \right)}^k}.C_8^k.{x^{16 - 3k}}} \).
Số hạng chứa \(x^4\) ứng với \(16 - 3k = 4 \Leftrightarrow k = 4.\)
Do đó hệ số của số hạng chứa \({x^4}\) là \({\left( { - 2} \right)^4}.C_8^4 = 1120\).
