Trong các dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) cho dưới đây, dãy số nào bị chặn dưới, bị chặn trên và bị chặn ?
LG a
\({u_n} = 2n - {n^2}\)
Phương pháp giải:
Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) được gọi là bị chặn trên nếu tồn tại một số \(M\) sao cho
\({u_n} \le M,\forall n \in {N^*}\)
Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) được gọi là bị chặn dưới nếu tồn tại một số \(m\) sao cho
\({u_n} \ge m,\forall n \in {N^*}\)
Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) được gọi là bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới, tức là tồn tại các số \(M,m\) sao cho
\(m \le {u_n} \le M,\forall n \in {N^*}\)
Lời giải chi tiết:
Bị chặn trên vì:
\({\left( {n - 1} \right)^2} = {n^2} - 2n + 1 \ge 0\) \( \Leftrightarrow 1 \ge 2n - {n^2}\) hay \({u_n} \le 1,\forall n \in N*.\)
LG b
\({u_n} = n + \dfrac{1}{n}\)
Phương pháp giải:
Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) được gọi là bị chặn trên nếu tồn tại một số \(M\) sao cho
\({u_n} \le M,\forall n \in {N^*}\)
Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) được gọi là bị chặn dưới nếu tồn tại một số \(m\) sao cho
\({u_n} \ge m,\forall n \in {N^*}\)
Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) được gọi là bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới, tức là tồn tại các số \(M,m\) sao cho
\(m \le {u_n} \le M,\forall n \in {N^*}\)
Lời giải chi tiết:
Bị chặn dưới vì \(n + \dfrac{1}{n} \ge 2\sqrt {n.\dfrac{1}{n}} = 2\) hay \({u_n} \ge 2,\forall n \in N*.\)
LG c
\({u_n} = \sqrt {{n^2} - 4n + 7} \);
Phương pháp giải:
Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) được gọi là bị chặn trên nếu tồn tại một số \(M\) sao cho
\({u_n} \le M,\forall n \in {N^*}\)
Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) được gọi là bị chặn dưới nếu tồn tại một số \(m\) sao cho
\({u_n} \ge m,\forall n \in {N^*}\)
Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) được gọi là bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới, tức là tồn tại các số \(M,m\) sao cho
\(m \le {u_n} \le M,\forall n \in {N^*}\)
Lời giải chi tiết:
Bị chặn dưới vì \({u_n} = \sqrt {{n^2} - 4n + 4 + 3} \) \( = \sqrt {{{\left( {n - 2} \right)}^2} + 3} \ge \sqrt 3 \) hay \({u_n} \ge \sqrt 3 ,\forall n \in N*.\)
LG d
\({u_n} = \dfrac{1}{{{n^2} - 6n + 11}}\)
Phương pháp giải:
Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) được gọi là bị chặn trên nếu tồn tại một số \(M\) sao cho
\({u_n} \le M,\forall n \in {N^*}\)
Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) được gọi là bị chặn dưới nếu tồn tại một số \(m\) sao cho
\({u_n} \ge m,\forall n \in {N^*}\)
Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) được gọi là bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới, tức là tồn tại các số \(M,m\) sao cho
\(m \le {u_n} \le M,\forall n \in {N^*}\)
Lời giải chi tiết:
Bị chặn vì \({n^2} - 6n + 11 = {\left( {n - 3} \right)^2} + 2 > 0\) \( \Rightarrow \dfrac{1}{{{n^2} - 6n + 11}} > 0\)
Lại có \({n^2} - 6n + 11 = {\left( {n - 3} \right)^2} + 2 \ge 2\) \( \Rightarrow \dfrac{1}{{{n^2} - 6n + 11}} \le \dfrac{1}{2}\)
Do đó \(0 < {u_n} \le \dfrac{1}{2},\forall n \in N*.\)
