Giải bài 2.27 trang 77 SBT hình học 11

158 lượt xem

Đề bài

Cho hai hình bình hành $ABCD$ và $ABEF$ không cùng nằm trong một mặt phẳng. Gọi $M$ và $N$ là hai điểm di động tương ứng trên $AD$ và $BE$ sao cho $\dfrac{AM}{MD} = \dfrac{BN}{NE}$

Chứng minh rằng đường thẳng $MN$ luôn luôn song song với một mặt phẳng cố định. Hãy chỉ ra mặt phẳng cố định đó.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Sử dụng định lý Talet.

Sử dụng tính chất: Nếu đường thẳng $d$ không năm trong mặt phẳng $(\alpha)$ và $d$ song song với đường thẳng $d’$ nằm trong $(\alpha)$ thì $d$ song song với $(\alpha)$ .

$\left\{ \begin{array}{l}d \not\subset (\alpha )\\d\parallel d'\\d' \subset (\alpha )\end{array} \right. \Rightarrow d\parallel (\alpha )$

Sử dụng tính chất: Nếu mặt phẳng $(\alpha)$ chứa hai đường thẳng cắt nhau $a$ , $b$ và hai đường thẳng này cùng song song với mặt phẳng $(\beta)$ thì $(\alpha)$ song song với $(\beta)$ .

$\left\{ \begin{array}{l}a \subset (\alpha ),b \subset (\alpha )\\a\text{ cắt }b\\a\parallel (\beta ),b\parallel (\beta )\end{array} \right. \Rightarrow (\alpha )\parallel (\beta )$

Sử dụng tính chất khi $(\alpha)$ song song với $(\beta)$ thì $(\alpha)$ sẽ song song với mọi đường thẳng thuộc $(\beta)$ .

Lời giải chi tiết

Trong hình bình hành $ABEF$ , ta dựng $NP\parallel AB\parallel EF$ .

Mà $EF\subset (DEF)$

$\Rightarrow NP\parallel (DEF) \text{ (1)}$

Từ các dựng $NP\parallel AB\parallel EF$ suy ra $\dfrac{BN}{NE}=\dfrac{AP}{PF}$ .

Mà $\dfrac{BN}{NE}=\dfrac{AM}{MD}$ $\Rightarrow\dfrac{AP}{PF}=\dfrac{AM}{MD}$

Suy ra $PM\parallel FD$ mà $FD\subset (DEF)$

$\Rightarrow PM\parallel (DEF) \text{ (2)}$

Ta lại có $NP, MP\subset (MNP)$ , từ $\text{(1)}$ và $\text{(2)}$ suy ra $(MNP)\parallel(DEF)$ .

Ta có: $MN\subset(MNP)\Rightarrow MN\parallel (DEF)$

Vậy $MN$ luôn song song với một mặt phẳng cố định $(DEF)$ .

SBT Toán lớp 11