Giải bài 2.50 trang 84 SBT hình học 11

142 lượt xem

Đề bài

Cho tứ diện $ABCD$ . Tìm vị trí điểm $M$ trong không gian sao cho: $M{A^2} + M{B^2} + M{C^2} + M{{\rm{D}}^2}$ đạt giá trị cực tiểu.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Sử dụng tính chất:

Cho $I$ là trung điểm đoạn thẳng $AB$ . Với điểm $M$ bất kì ta luôn có:

$MA^2+MB^2=2MI^2+\dfrac{1}{2}AB^2$

Lời giải chi tiết

Gọi $\displaystyle E, F$ lần lượt là trung điểm của $\displaystyle AB$ và $\displaystyle CD$ . Ta có:

$\begin{array}{l} M{A^2} + M{B^2} = {\overrightarrow {MA} ^2} + {\overrightarrow {MB} ^2}\\ = {\left( {\overrightarrow {ME} + \overrightarrow {EA} } \right)^2} + {\left( {\overrightarrow {ME} + \overrightarrow {EB} } \right)^2}\\ = {\overrightarrow {ME} ^2} + 2\overrightarrow {ME} .\overrightarrow {EA} + {\overrightarrow {EA} ^2}\\ + {\overrightarrow {ME} ^2} + 2\overrightarrow {ME} .\overrightarrow {EB} + {\overrightarrow {EB} ^2}\\ = 2M{E^2} + 2\overrightarrow {ME} \left( {\overrightarrow {EA} + \overrightarrow {EB} } \right) + E{A^2} + E{B^2}\\ = 2M{E^2} + 0 + \frac{1}{4}A{B^2} + \frac{1}{4}A{B^2}\\ = 2M{E^2} + \frac{1}{2}A{B^2} \end{array}$

Do đó, $\displaystyle M{A^2} + M{B^2} = 2M{E^2} + {1 \over 2}A{B^2}\,\,\,\,\,\left( 1 \right)$

$\displaystyle M{C^2} + M{D^2} = 2M{F^2} + {1 \over 2}C{{\rm{D}}^2}\,\,\,\,\,\left( 2 \right)$

Cộng (1) và (2) ta có:

$\displaystyle M{A^2} + M{B^2} + M{C^2} + M{{\rm{D}}^2}$

$\displaystyle = 2\left( {M{E^2} + M{F^2}} \right) + {1 \over 2}\left( {A{B^2} + C{{\rm{D}}^2}\,\,} \right)\,\,$

Gọi $\displaystyle J$ là trung điểm của $\displaystyle EF$ , ta có:

$\displaystyle \left( {M{E^2} + M{F^2}} \right) = 2M{J^2}\, + {1 \over 2}E{F^2}$

Khi đó:

$\displaystyle \eqalign{ & M{A^2} + M{B^2} + M{C^2} + M{{\rm{D}}^2} \cr & = 2\left( {2M{J^2}\, + {1 \over 2}E{F^2}} \right) + {1 \over 2}\left( {A{B^2} + C{{\rm{D}}^2}} \right) \cr & = 4M{J^2} + E{F^2} + \frac{1}{2}\left( {A{B^2} + C{D^2}} \right)\cr &\ge E{F^2} + {1 \over 2}\left( {A{B^2} + C{{\rm{D}}^2}} \right) \cr}$

Vậy $\displaystyle M{A^2} + M{B^2} + M{C^2} + M{{\rm{D}}^2}$ đạt giá trị nhỏ nhất khi $MJ = 0$ hay $\displaystyle M \equiv J$ .

SBT Toán lớp 11