Đề bài
Qua tâm G của tam giác đều ABC, kẻ đường thẳng a cắt BC tại M và cắt AB tại N, kẻ đường thẳng b cắt AC tại P và AB tại Q, đồng thời góc giữa a và b bằng 60∘. Chứng minh rằng tứ giác MPNQ là một hình thang cân.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Xét phép quay tâm G góc quay 1200 và nhận xét.
Lời giải chi tiết
Gọi Q(G;1200) là phép quay tâm G góc 1200.
Phép quay này biến b thành a, biến CA thành AB.
Mà P=b∩CA,N=a∩AB nên Q(G,1200)(P)=N.
Tương tự Q(G;1200)(Q)=M suy ra GP=GN,GQ=GM.
⇒ΔGNQ=ΔGPM⇒NQ=PM
Vì Q(G;1200) biến PQ thành NM nên PQ=NM.
Từ đó suy ra hai tam giác NQMvà PMQ bằng nhau. Do đó ^NQM=^PMQ.
Tương tự ^QNP=^MPN.
Từ đó suy ra ^PNQ+^NQM=1800
Do đó NP∥QM. Vậy ta có tứ giác MPNQ là hình thang cân.
