Với những giá trị nào của \(x\), ta có mỗi đẳng thức sau ?
LG a
\(\dfrac{1}{{\tan x}} = \cot x\)
Phương pháp giải:
Biến đổi \(VT=VP\), từ đó suy ra đẳng thức xảy ra khi hai vế xác định.
Tìm ĐKXĐ của các biểu thức xuất hiện trong đẳng thức và kết luận.
Lời giải chi tiết:
\(VT = \dfrac{1}{{\tan x}} = \dfrac{1}{{\dfrac{{\sin x}}{{\cos x}}}} \) \( = \dfrac{{\cos x}}{{\sin x}} = \cot x = VP\)
Do đó \(VT=VP\) nếu hai vế xác định.
ĐKXĐ: \( \left\{ \begin{array}{l}\sin x \ne 0\\\cos x \ne 0\end{array} \right. \)
\(\Leftrightarrow \sin 2x \ne 0\)
\( \Leftrightarrow x \ne k\dfrac{\pi }{2},k \in \mathbb{Z}\)
Vậy đẳng thức xảy ra khi \(x \ne k\dfrac{\pi }{2}{\rm{,}}k \in \mathbb{Z}\)
LG b
\(\dfrac{1}{{1 + {{\tan }^2}x}} = {\cos ^2}x\)
Phương pháp giải:
Biến đổi VT=VP, từ đó suy ra đẳng thức xảy ra khi hai vế xác định.
Tìm ĐKXĐ của các biểu thức xuất hiện trong đẳng thức và kết luận.
Lời giải chi tiết:
Ta có :
\(VP = \dfrac{1}{{1 + {{\tan }^2}x}} = \dfrac{1}{{1 + \dfrac{{{{\sin }^2}x}}{{{{\cos }^2}x}}}}\)
\( = \dfrac{1}{{\dfrac{{{{\cos }^2}x + {{\sin }^2}x}}{{{{\cos }^2}x}}}}\) \( = \dfrac{1}{{\dfrac{1}{{{{\cos }^2}x}}}} = {\cos ^2}x = VP\)
Do đó \(VT=VP\) nếu hai vế xác định
ĐKXĐ: \( \cos x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne \dfrac{\pi }{2} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}\)
Vậy đẳng thức xảy ra khi \(x \ne \dfrac{\pi }{2} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}\).
LG c
\(\dfrac{1}{{{{\sin }^2}x}} = 1 + {\cot ^2}x\)
Phương pháp giải:
Biến đổi VT=VP, từ đó suy ra đẳng thức xảy ra khi hai vế xác định.
Tìm ĐKXĐ của các biểu thức xuất hiện trong đẳng thức và kết luận.
Lời giải chi tiết:
Ta có :
\(VP = 1 + {\cot ^2}x = 1 + \dfrac{{{{\cos }^2}x}}{{{{\sin }^2}x}}\)
\( = \dfrac{{{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x}}{{{{\sin }^2}x}} = \dfrac{1}{{{{\sin }^2}x}} = VT\)
Do đó \(VT=VP\) nếu hai vế xác định.
ĐKXĐ: \(\sin x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne k\pi ,k \in \mathbb{Z}\)
Vậy đẳng thức xảy ra khi \(x \ne k\pi ,k \in \mathbb{Z}\).
LG d
\(\tan x + \cot x = \dfrac{2}{{\sin 2x}}\)
Phương pháp giải:
Biến đổi VT=VP, từ đó suy ra đẳng thức xảy ra khi hai vế xác định.
Tìm ĐKXĐ của các biểu thức xuất hiện trong đẳng thức và kết luận.
Lời giải chi tiết:
Ta có: \(VT = \tan x + \cot x = \dfrac{{\sin x}}{{\cos x}} + \dfrac{{\cos x}}{{\sin x}}\) \( = \dfrac{{{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x}}{{\sin x\cos x}} = \dfrac{1}{{\sin x\cos x}}\)
\(VP = \dfrac{2}{{\sin 2x}} = \dfrac{2}{{2\sin x\cos x}}\) \(= \dfrac{1}{{\sin x\cos x}}\)
Do đó \(VT=VP\) nếu hai vế xác định.
\(VT\) xác định khi \(\left\{ \begin{array}{l}\cos x \ne 0\\\sin x \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \sin 2x \ne 0\) \( \Leftrightarrow 2x \ne k\pi \Leftrightarrow x \ne \dfrac{{k\pi }}{2}\)
\(VP\) xác định khi \(\sin 2x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne \dfrac{{k\pi }}{2}\).
Vậy đẳng thức xảy ra khi \(x \ne \dfrac{{k\pi }}{2}\).
