Giải bài 1.4 trang 13 SBT đại số và giải tích 11

142 lượt xem

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Với những giá trị nào của $x$ , ta có mỗi đẳng thức sau ?

LG a

$\dfrac{1}{{\tan x}} = \cot x$

Phương pháp giải:

Biến đổi $VT=VP$ , từ đó suy ra đẳng thức xảy ra khi hai vế xác định.

Tìm ĐKXĐ của các biểu thức xuất hiện trong đẳng thức và kết luận.

Lời giải chi tiết:

$VT = \dfrac{1}{{\tan x}} = \dfrac{1}{{\dfrac{{\sin x}}{{\cos x}}}}$ $= \dfrac{{\cos x}}{{\sin x}} = \cot x = VP$

Do đó $VT=VP$ nếu hai vế xác định.

ĐKXĐ: $\left\{ \begin{array}{l}\sin x \ne 0\\\cos x \ne 0\end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \sin 2x \ne 0$

$\Leftrightarrow x \ne k\dfrac{\pi }{2},k \in \mathbb{Z}$

Vậy đẳng thức xảy ra khi $x \ne k\dfrac{\pi }{2}{\rm{,}}k \in \mathbb{Z}$

LG b

$\dfrac{1}{{1 + {{\tan }^2}x}} = {\cos ^2}x$

Phương pháp giải:

Biến đổi VT=VP, từ đó suy ra đẳng thức xảy ra khi hai vế xác định.

Tìm ĐKXĐ của các biểu thức xuất hiện trong đẳng thức và kết luận.

Lời giải chi tiết:

Ta có :

$VP = \dfrac{1}{{1 + {{\tan }^2}x}} = \dfrac{1}{{1 + \dfrac{{{{\sin }^2}x}}{{{{\cos }^2}x}}}}$

$= \dfrac{1}{{\dfrac{{{{\cos }^2}x + {{\sin }^2}x}}{{{{\cos }^2}x}}}}$ $= \dfrac{1}{{\dfrac{1}{{{{\cos }^2}x}}}} = {\cos ^2}x = VP$

Do đó $VT=VP$ nếu hai vế xác định

ĐKXĐ: $\cos x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne \dfrac{\pi }{2} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}$

Vậy đẳng thức xảy ra khi $x \ne \dfrac{\pi }{2} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}$ .

LG c

$\dfrac{1}{{{{\sin }^2}x}} = 1 + {\cot ^2}x$

Phương pháp giải:

Biến đổi VT=VP, từ đó suy ra đẳng thức xảy ra khi hai vế xác định.

Tìm ĐKXĐ của các biểu thức xuất hiện trong đẳng thức và kết luận.

Lời giải chi tiết:

Ta có :

$VP = 1 + {\cot ^2}x = 1 + \dfrac{{{{\cos }^2}x}}{{{{\sin }^2}x}}$

$= \dfrac{{{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x}}{{{{\sin }^2}x}} = \dfrac{1}{{{{\sin }^2}x}} = VT$

Do đó $VT=VP$ nếu hai vế xác định.

ĐKXĐ: $\sin x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne k\pi ,k \in \mathbb{Z}$

Vậy đẳng thức xảy ra khi $x \ne k\pi ,k \in \mathbb{Z}$ .

LG d

$\tan x + \cot x = \dfrac{2}{{\sin 2x}}$

Phương pháp giải:

Biến đổi VT=VP, từ đó suy ra đẳng thức xảy ra khi hai vế xác định.

Tìm ĐKXĐ của các biểu thức xuất hiện trong đẳng thức và kết luận.

Lời giải chi tiết:

Ta có: $VT = \tan x + \cot x = \dfrac{{\sin x}}{{\cos x}} + \dfrac{{\cos x}}{{\sin x}}$ $= \dfrac{{{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x}}{{\sin x\cos x}} = \dfrac{1}{{\sin x\cos x}}$

$VP = \dfrac{2}{{\sin 2x}} = \dfrac{2}{{2\sin x\cos x}}$ $= \dfrac{1}{{\sin x\cos x}}$

Do đó $VT=VP$ nếu hai vế xác định.

$VT$ xác định khi $\left\{ \begin{array}{l}\cos x \ne 0\\\sin x \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \sin 2x \ne 0$ $\Leftrightarrow 2x \ne k\pi \Leftrightarrow x \ne \dfrac{{k\pi }}{2}$

$VP$ xác định khi $\sin 2x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne \dfrac{{k\pi }}{2}$ .

Vậy đẳng thức xảy ra khi $x \ne \dfrac{{k\pi }}{2}$ .

SBT Toán lớp 11