Đề bài
Tứ diện SABC có SA vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi H và K lần lượt là trực tâm của các tam giác ABC và SBC. Chứng minh rằng:
a) AH, SK và BC đồng quy.
b) SC vuông góc với mặt phẳng (BHK) và (SAC)⊥(BHK)
c) HK vuông góc với mặt phẳng (SBC) và (SBC)⊥(BHK)
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng lý thuyết: "Hai mặt phẳng vuông góc với nhau, nếu có đường thẳng nằm trong mặt phẳng này mà vuông góc với giao tuyến thì đường thẳng đó sẽ vuông góc với mặt phẳng còn lại".
Lời giải chi tiết
a) Gọi A’ là giao điểm của AH và BC. Ta cần chứng minh ba điểm S, K, A’ thẳng hàng.
Vì H là trực tâm của tam giác ABC nên AA′⊥BC. Mặt khác theo giả thiết ta có: SA⊥(ABC), do đó SA⊥BC. Từ đó ta suy ra BC⊥(SAA′) và BC⊥SA′. Vậy SA’ là đường cao của tam giác SBC nên SA’ là phải đi qua trực tâm K. Vậy ba đường thẳng AH, SK và BC đồng quy.
b) Vì K là trực tâm của tam giác SBC nên BK⊥SC(1)
Mặt khác ta có BH⊥AC vì H là trực tâm của tam giác ABC và BH⊥SA vì SA⊥(ABC).
Do đó BH⊥(ABC) nên BH⊥SC(2).
Từ (1) và (2) ta suy ra SC⊥(BHK). Vì mặt phẳng (SAC) chứa SC mà SC⊥(BHK) nên ta có (SAC)⊥(BHK).
c) Ta có
BC⊥(SAA′),BC⊥HKSC⊥(BHK),SC⊥HK}⇒HK⊥(SBC)
Mặt phẳng (BHK) chứa HK mà HK⊥(SBC) nên (BHK)⊥(SBC).
