Đề bài
Cho tứ diện O.ABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc và các cạnh OA = OB = OC = a, gọi I là trung điểm BC.
a) Chứng minh rằng: BC ⊥ (AOI), (OAI) ⊥ (ABC).
b) Tính góc giữa AB và mặt phẳng (AOI).
c) Tính góc giữa các đường thẳng AI và OB.
Lời giải chi tiết
a) Ta có: {OA⊥OBOA⊥OC ⇒OA⊥(OBC)⇒OA⊥BC
Mà ΔOBC vuông cân tại O nên OI⊥BC
Do đó {BC⊥OABC⊥OI⇒BC⊥(OAI).
Mà BC⊂(ABC) nên (ABC)⊥(OAI).
b) Ta có: {BI⊥OIBI⊥OA⇒BI⊥(OAI)
⇒I là hình chiếu của B trên (OAI).
Mà BA∩(OAI)=A nên AI là hình chiếu của AB trên (OAI).
Do đó góc giữa AB và (OAI) bằng góc giữa AB và AI hay là góc ^BAI.
Tam giác ABC có: AB=BC=AC do các tam giác vuông cân OAB,OAC,OBC bằng nhau.
Do đó ABC là tam giác đều nên ˆA=600
I là trung điểm BC nên AI là phân giác góc A nên ^BAI=12ˆA=300.
c) Gọi J là trung điểm OC, khi đó IJ//OB
Do OB⊥(OAC) nên IJ⊥(OAC)⇒IJ⊥AJ hay tam giác AIJ vuông tại J.
Vậy góc giữa AI và OB bằng góc giữa AI và IJ hay góc ^AIJ.
Có IJ=12OB=a2.
AJ=√OA2+OJ2 =√a2+a24=a√52.
Tam giác AIJ vuông tại J nên tan^AIJ=AJIJ=a√52:a2=√5 ⇒^AIJ=65054′
