Đề bài
Cho hai hàm số \(y = f\left( x \right)\) và \(y = g\left( x \right)\) cùng xác định trên khoảng \(\left( { - \infty ,a} \right)\). Dùng định nghĩa chứng minh rằng, nếu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f\left( x \right) = L\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } g\left( x \right) = M\) thì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f\left( x \right).g\left( x \right) = L.M\)
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Xem lại định nghĩa giới hạn hàm số tại đây.
Lời giải chi tiết
Giả sử \(\left( {{x_n}} \right)\) là dãy số bất kì thoả mãn \({x_n} < a\) và \({x_n} \to - \infty \)
Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f\left( x \right) = L\) nên \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } f\left( {{x_n}} \right) = L\)
Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } g\left( x \right) = M\) nên \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } g\left( {{x_n}} \right) = M\)
Do đó, \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } f\left( {{x_n}} \right).g\left( {{x_n}} \right) = L.M\)
Từ định nghĩa suy ra \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f\left( x \right).g\left( x \right) = L.M\)
