LG a
Một lớp có 50 học sinh. Tính số cách phân công 4 bạn quét sân trường và 5 bạn xén cây bằng hai phương pháp để rút ra đẳng thức
C950.C49=C450.C546.
Phương pháp giải:
Ta có: VT là C950.C49 nghĩa là quy tắc nhân của hai hành động:
- Hành động thứ nhất là cách chọn 9 bạn từ 50 bạn
- Hành động thứ hai là cách chọn 4 bạn từ 9 bạn.
VT là C450.C546 nghĩa là quy tắc nhân của hai hành động
- Hành động thứ nhất là cách chọn 4 bạn từ 50 bạn
- Hành động thứ hai là cách chọn 5 bạn từ 46 bạn.
Từ đó ta rút ra được hai cách để phân công các bạn đi làm việc
- Cách thứ nhất là chọn 9 bạn trong 50 bạn trước rồi chọn 4 bạn quét sân, 5 bạn kia sẽ xén cây.
- Cách thứ hai là chọn luôn 4 bạn trong 50 bạn quét sân, và 5 trong 46 bạn còn lại xén cỏ.
Để tính số cách chọn ra 9 bạn làm việc cho hai cách ta sử dụng tổ hợp và quy tắc nhân.
Lời giải chi tiết:
Cách thứ nhất: Chọn 9 bạn nam trong 50 bạn để làm trực nhật. Có C950 cách.
Khi đã chọn được 9 bạn rồi, chọn 4 trong 9 bạn đó để quét sân. Có C49 cách.
Từ đó, theo quy tắc nhân, có C950.C49 cách phân công.
Cách thứ hai: Chọn 4 trong 50 bạn để quét sân, sau đó chọn 5 trong 46 bạn còn lại để xén cây. Vậy có C450.C546 cách phân công.
Từ đó ta có đẳng thức cần chứng minh.
LG b
Chứng minh công thức Niu-tơn
Crn.Ckr=Ckn.Cr−kn−k.(n≥r≥k≥0).
Phương pháp giải:
Sử dụng công thức Ckn=n!k!(n−k)! để chứng minh công thức Niu-tơn.
Lời giải chi tiết:
Ta có: VT=CrnCkr
=n!r!(n−r)!r!k!(r−k)!
=n!(n−r)!k!(r−k)!
VT=CknCr−kn−k=
n!k!(n−k)!(n−k)!(r−k)![n−k−(r−k)]!
=n!k!(n−k)!(n−k)!(r−k)!(n−r)!
=n!k!(r−k)!(n−r)!
=VT(đpcm)
Cách khác:
Xét bài toán: Một lớp có n học sinh. Tính số cách để chọn ra r bạn trực nhật mà có k bạn quét sân và r-k bạn xén cây.
Giải:
Cách 1:
Số cách chọn ra r bạn trong n bạn là Crn
Số cách chọn ra k trong r bạn để quét sân là Ckr.
Sau khi chọn xong k bạn quét sân thì các bạn còn lại tự động vào nhóm xén cây nên có 1 cách.
Do đó có Crn.Ckr cách chọn.
Cách 2:
Số cách chọn k bạn để quét sân trong số n học sinh của lớp là Ckn.
Số cách chọn r-k bạn xén cây trong số n-k bạn còn lại là Cr−kn−k.
Theo quy tắc nhân có Ckn.Cr−kn−k cách chọn.
Vậy Crn.Ckr=Ckn.Cr−kn−k
LG c
Tìm chữ số ở hàng đơn vị của tổng
S=0!+2!+4!+6!+...+100!.
Phương pháp giải:
Sử dụng công thức P=n!=1.2.3.4…n để tìm chữ số tận cùng của từng số hạng rồi cộng các chữ số tận cùng đó lại.
Lời giải chi tiết:
Ta có: 0!=1; 2!=2; 4!=1.2.3.4=24; 6!=1.2.3.4.5.6=720 (tận cùng là 0);...
Tương tự với các số hạng tiếp theo ta có các số hạng 6!; 8!;...100! đều có tận cùng là chữ số 0. Vì trong biểu thức khai triển tính giai thừa có 4×5=20 (tận cùng là 0). Do đó chữ số ở hàng đơn vị của S là 1+2+4=7.
