Giải bài 3 trang 231 SBT đại số và giải tích 11

124 lượt xem

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Giả sử A, B, C là ba góc của tam giác ABC, chứng minh rằng:

LG a

$\frac{{\sin C}}{{\cos A\cos B}} = \tan A + \tan B$

Lời giải chi tiết:

$\begin{array}{l} VT = \frac{{\sin C}}{{\cos A\cos B}}\\ = \frac{{\sin \left( {{{180}^0} - \left( {A + B} \right)} \right)}}{{\cos A\cos B}}\\ = \frac{{\sin \left( {A + B} \right)}}{{\cos A\cos B}}\\ = \frac{{\sin A\cos B + \sin B\cos A}}{{\cos A\cos B}}\\ = \frac{{\sin A\cos B}}{{\cos A\cos B}} + \frac{{\sin B\cos A}}{{\cos A\cos B}}\\ = \frac{{\sin A}}{{\cos A}} + \frac{{\sin B}}{{\cos B}}\\ = \tan A + \tan B = VP \end{array}$

LG b

$\sin A + \sin B + \sin C$ $= 4\cos \frac{A}{2}\cos \frac{B}{2}\cos \frac{C}{2}$

Lời giải chi tiết:

$\begin{array}{l} VT = \sin A + \sin B + \sin C\\ = 2\sin \frac{{A + B}}{2}\cos \frac{{A - B}}{2} + 2\sin \frac{C}{2}\cos \frac{C}{2}\\ = 2\cos \frac{C}{2}\cos \frac{{A - B}}{2} + 2\sin \frac{C}{2}\cos \frac{C}{2}\\ = 2\cos \frac{C}{2}\left( {\cos \frac{{A - B}}{2} + \sin \frac{C}{2}} \right)\\ = 2\cos \frac{C}{2}\left( {\cos \frac{{A - B}}{2} + \cos \frac{{A + B}}{2}} \right)\\ = 2\cos \frac{C}{2}.2\cos \frac{A}{2}\cos \left( { - \frac{B}{2}} \right)\\ = 4\cos \frac{A}{2}\cos \frac{B}{2}\cos \frac{C}{2} \end{array}$

LG c

$\frac{{\sin A + \sin B + \sin C}}{{\sin A + \sin B - \sin C}} = \cot \frac{A}{2}\cot \frac{B}{2}$

Lời giải chi tiết:

Từ câu b ta có:

$\sin A + \sin B + \sin C$ $= 4\cos \frac{A}{2}\cos \frac{B}{2}\cos \frac{C}{2}$

Lại có:

$\begin{array}{l} \sin A + \sin B - \sin C\\ = 2\sin \frac{{A + B}}{2}\cos \frac{{A - B}}{2} - 2\sin \frac{C}{2}\cos \frac{C}{2}\\ = 2\cos \frac{C}{2}\cos \frac{{A - B}}{2} - 2\sin \frac{C}{2}\cos \frac{C}{2}\\ = 2\cos \frac{C}{2}\left( {\cos \frac{{A - B}}{2} - \sin \frac{C}{2}} \right)\\ = 2\cos \frac{C}{2}\left( {\cos \frac{{A - B}}{2} - \cos \frac{{A + B}}{2}} \right)\\ = 2\cos \frac{C}{2}.\left[ { - 2\sin \frac{A}{2}\sin \left( { - \frac{B}{2}} \right)} \right]\\ = 4\sin \frac{A}{2}\sin \frac{B}{2}\cos \frac{C}{2} \end{array}$

Do đó,

$\begin{array}{l} \frac{{\sin A + \sin B + \sin C}}{{\sin A + \sin B - \sin C}} = \frac{{4\cos \frac{A}{2}\cos \frac{B}{2}\cos \frac{C}{2}}}{{4\sin \frac{A}{2}\sin \frac{B}{2}\cos \frac{C}{2}}}\\ = \frac{{\cos \frac{A}{2}\cos \frac{B}{2}}}{{\sin \frac{A}{2}\sin \frac{B}{2}}} = \cot \frac{A}{2}\cot \frac{B}{2} \end{array}$

SBT Toán lớp 11