Chứng minh các bất đẳng thức sau
LG a
3n−1>n(n+2) với n≥4
Phương pháp giải:
Để chứng minh một mệnh đề đúng với mọi n≥p,p∈N∗, ta tiến hành:
- Bước 1: Kiểm tra mệnh đề đúng khi n=p.
- Bước 2: Giả thiết mệnh đề đúng với một số tự nhiên n=k(k≥p) và chứng minh rằng nó cũng đúng với n=k+1
Lời giải chi tiết:
Với n=4 thì 34−1=27>4(4+2)=24.
Giả sử đã có 3k−1>k(k+2) với k≥4.(1)
Nhân hai vế của (1) với 3, ta có
3.3k−1=3(k+1)−1>3k(k+2) =(k+1)[(k+1)+2] +2k2+2k−3.
Do 2k2+2k−3>0 nên 3(k+1)−1>(k+1)[(k+1)+2], chứng tỏ bất đẳng thức đúng với n=k+1.
LG b
2n−3>3n−1 với n≥8.
Phương pháp giải:
Để chứng minh một mệnh đề đúng với mọi n≥p,p∈N∗, ta tiến hành:
- Bước 1: Kiểm tra mệnh đề đúng khi n=p.
- Bước 2: Giả thiết mệnh đề đúng với một số tự nhiên n=k(k≥p) và chứng minh rằng nó cũng đúng với n=k+1.
Lời giải chi tiết:
Với n=8 ta có: 28−3=25=32>23=3.8−1 nên đúng.
Giả sử ta có 2k−3>3k−1(1) với k≥8, ta cần chứng minh 2(k+1)−3>3.(k+1)−1
Thật vậy, nhân cả hai vế của (1) với 2 ta có:
2k−2>3k.2−2⇔2k−2>3k+3+3k−5 ⇔2k−2>3(k+1)+3k−5
⇔2k−2>3(k+1)−1+3k−4 ⇔2k−2>3(k+1)−1
Hay 2(k+1)−3>3(k+1)−1 nên bất đẳng thức đúng với n=k+1.
Từ đó suy ra đpcm.
