Chứng minh các bất đẳng thức sau
LG a
\({3^{n - 1}} > n\left( {n + 2} \right)\) với \(n \ge 4\)
Phương pháp giải:
Để chứng minh một mệnh đề đúng với mọi \(n \ge p,p \in {N^*}\), ta tiến hành:
- Bước 1: Kiểm tra mệnh đề đúng khi \(n = p\).
- Bước 2: Giả thiết mệnh đề đúng với một số tự nhiên \(n = k\left( {k \ge p} \right)\) và chứng minh rằng nó cũng đúng với \(n = k + 1\)
Lời giải chi tiết:
Với \(n = 4\) thì \({3^{4 - 1}} = 27 > 4\left( {4 + 2} \right) = 24.\)
Giả sử đã có \({3^{k - 1}} > k\left( {k + 2} \right)\) với \(k \ge 4.{\rm{ }}\left( 1 \right)\)
Nhân hai vế của (1) với \(3\), ta có
\({3.3^{k - 1}} = {3^{\left( {k + 1} \right) - 1}} > 3k\left( {k + 2} \right)\) \({\rm{ = }}\left( {k + 1} \right)\left[ {\left( {k + 1} \right) + 2} \right]\) \( + 2{k^2} + 2k - 3.\)
Do \(2{k^2} + 2k - 3 > 0\) nên \({3^{\left( {k + 1} \right) - 1}} > \left( {k + 1} \right)\left[ {\left( {k + 1} \right) + 2} \right],\) chứng tỏ bất đẳng thức đúng với \(n = k + 1.\)
LG b
\({2^{n - 3}} > 3n - 1\) với \(n \ge 8.\)
Phương pháp giải:
Để chứng minh một mệnh đề đúng với mọi \(n \ge p,p \in {N^*}\), ta tiến hành:
- Bước 1: Kiểm tra mệnh đề đúng khi \(n = p\).
- Bước 2: Giả thiết mệnh đề đúng với một số tự nhiên \(n = k\left( {k \ge p} \right)\) và chứng minh rằng nó cũng đúng với \(n = k + 1\).
Lời giải chi tiết:
Với \(n = 8\) ta có: \({2^{8 - 3}} = {2^5} = 32 > 23 = 3.8 - 1\) nên đúng.
Giả sử ta có \({2^{k - 3}} > 3k - 1\,\,\left( 1 \right)\) với \(k \ge 8\), ta cần chứng minh \({2^{\left( {k + 1} \right) - 3}} > 3.\left( {k + 1} \right) - 1\)
Thật vậy, nhân cả hai vế của \(\left( 1 \right)\) với \(2\) ta có:
\({2^{k - 2}} > 3k.2 - 2\)\( \Leftrightarrow {2^{k - 2}} > 3k + 3 + 3k - 5\) \( \Leftrightarrow {2^{k - 2}} > 3\left( {k + 1} \right) + 3k - 5\)
\( \Leftrightarrow {2^{k - 2}} > 3\left( {k + 1} \right) - 1 + 3k - 4\) \( \Leftrightarrow {2^{k - 2}} > 3\left( {k + 1} \right) - 1\)
Hay \({2^{\left( {k + 1} \right) - 3}} > 3\left( {k + 1} \right) - 1\) nên bất đẳng thức đúng với \(n = k + 1\).
Từ đó suy ra đpcm.
