Đề bài
Cho phương trình \(\sqrt{3}\cos x+\sin x=2\text{(*)}\)
Xét các giá trị
\((I) \dfrac{\pi}{2}+k2\pi\\(II) \dfrac{\pi}{3}+k2\pi\\(III) \dfrac{\pi}{6}+k2\pi\)\((k\in\mathbb{Z}).\)
Trong các giá trị trên, giá trị nào à nghiệm của phương trình \(\text{(*)}\)?
A. Chỉ \(\text{(I)}\)
B. Chỉ \(\text{(II)}\)
C. Chỉ \(\text{(III)}\)
D. \(\text{(I)}\) và \(\text{(III)}\)
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Cách giải phương trình dạng \(a\sin x+b\cos x=c\)
Ta chia hai vế phương trình cho \(\sqrt{a^2+b^2}\)
Đặt \(\sin \alpha=\dfrac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}\) và \(\cos \alpha=\dfrac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}\)
Sau đó sử dụng công thức khai triển cos của một hiệu \(\cos(a-b)=\cos a\cos b+\sin a\sin b\) để đưa phương trình về dạng \(\cos x=a\).
Lời giải chi tiết
Ta có: \(\text{(*)}\Leftrightarrow \dfrac{\sqrt{3}}{2}\cos x+\dfrac{1}{2}\sin x=1\)
\(\Leftrightarrow \cos {\left({x-\dfrac{\pi}{6}}\right)}=1\)
\(\Leftrightarrow x-\dfrac{\pi}{6}=k2\pi,k\in\mathbb{Z}\)
\(\Leftrightarrow x=\dfrac{\pi}{6}+k2\pi,k\in\mathbb{Z}\)
Đáp án: C.
