Giải bài 1.58 trang 41 SBT đại số và giải tích 11

147 lượt xem

Đề bài

Cho phương trình $8{\sin}^6 x={\sin}^2 2x$ .

Xét các giá trị

$(I) k\pi$

$(II) \dfrac{\pi}{4}+k\dfrac{\pi}{2}$

$(III)\dfrac{\pi}{2}+k\pi$

$(k\in\mathbb{Z})$ .

Trong các giá trị trên, giá trị nào là nghiệm của phương trình đã cho?

A. Chỉ $(I)$

B. Chỉ $(II)$

C. Chỉ $(III)$

D. $(I)$ và $(II)$ .

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Giải phương trình bằng cách

- Sử dụng công thức nhân đôi $\sin 2x=2\sin x\cos x$

- Nhóm nhân tử chung

Giải phương trình dạng $\sin x=a$

Nếu $|a|>1$ phương trình vô nghiệm

Nếu $|a|\le 1$ khi đó phương trình có nghiệm là

$x=\arcsin a+k2\pi ,k \in \mathbb{Z}$

và $x=\pi-\arcsin a+k2\pi ,k \in \mathbb{Z}$ .

Lời giải chi tiết

Ta có: $8{\sin}^6 x={\sin}^2 2x$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow 8{\sin ^6}x - {\sin ^2}2x = 0\\ \Leftrightarrow 8{\sin ^6}x - 4{\sin ^2}x{\cos ^2}x = 0\\ \Leftrightarrow 4{\sin ^2}x\left( {2{{\sin }^4}x - {{\cos }^2}x} \right) = 0\\ \Leftrightarrow 4{\sin ^2}x\left[ {2{{\sin }^4}x - \left( {1 - {{\sin }^2}x} \right)} \right] = 0 \end{array}$

$\Leftrightarrow 4{\sin}^2 x(2{\sin}^4 x+{\sin}^2 x-1)=0$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{\sin}^2 x = 0\\2{\sin}^4 x+{\sin}^2 x-1=0\end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = k\pi,k\in\mathbb{Z}\\{\sin}^2 x=\dfrac{1}{2}\\{\sin}^2 x=-1\le 0\text{(loại)}\end{array} \right.$

Với: ${\sin}^2 x=\dfrac{1}{2}$

$\Leftrightarrow \dfrac{1-\cos 2x}{2}=\dfrac{1}{2}$

$\Leftrightarrow \cos 2x=0$

$\Leftrightarrow 2x=\dfrac{\pi}{2}+k\pi,k\in\mathbb{Z}$

$\Leftrightarrow x=\dfrac{\pi}{4}+k\dfrac{\pi}{2},k\in\mathbb{Z}$

Vậy phương trình có nghiệm là $x=k\pi,k\in\mathbb{Z}$ và $x=\dfrac{\pi}{4}+k\dfrac{\pi}{2},k\in\mathbb{Z}$

Đáp án: D.

SBT Toán lớp 11