Đề bài
Cho phương trình \(8{\sin}^6 x={\sin}^2 2x\).
Xét các giá trị
\((I) k\pi\)
\((II) \dfrac{\pi}{4}+k\dfrac{\pi}{2}\)
\((III)\dfrac{\pi}{2}+k\pi\)
\((k\in\mathbb{Z})\).
Trong các giá trị trên, giá trị nào là nghiệm của phương trình đã cho?
A. Chỉ \((I)\)
B. Chỉ \((II)\)
C. Chỉ \((III)\)
D. \((I)\) và \((II)\).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Giải phương trình bằng cách
- Sử dụng công thức nhân đôi \(\sin 2x=2\sin x\cos x\)
- Nhóm nhân tử chung
Giải phương trình dạng \(\sin x=a\)
Nếu \(|a|>1\) phương trình vô nghiệm
Nếu \(|a|\le 1\) khi đó phương trình có nghiệm là
\(x=\arcsin a+k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\)
và \(x=\pi-\arcsin a+k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\).
Lời giải chi tiết
Ta có: \(8{\sin}^6 x={\sin}^2 2x\)
\(\begin{array}{l}
\Leftrightarrow 8{\sin ^6}x - {\sin ^2}2x = 0\\
\Leftrightarrow 8{\sin ^6}x - 4{\sin ^2}x{\cos ^2}x = 0\\
\Leftrightarrow 4{\sin ^2}x\left( {2{{\sin }^4}x - {{\cos }^2}x} \right) = 0\\
\Leftrightarrow 4{\sin ^2}x\left[ {2{{\sin }^4}x - \left( {1 - {{\sin }^2}x} \right)} \right] = 0
\end{array}\)
\(\Leftrightarrow 4{\sin}^2 x(2{\sin}^4 x+{\sin}^2 x-1)=0\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{\sin}^2 x = 0\\2{\sin}^4 x+{\sin}^2 x-1=0\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = k\pi,k\in\mathbb{Z}\\{\sin}^2 x=\dfrac{1}{2}\\{\sin}^2 x=-1\le 0\text{(loại)}\end{array} \right.\)
Với: \({\sin}^2 x=\dfrac{1}{2}\)
\(\Leftrightarrow \dfrac{1-\cos 2x}{2}=\dfrac{1}{2}\)
\(\Leftrightarrow \cos 2x=0\)
\(\Leftrightarrow 2x=\dfrac{\pi}{2}+k\pi,k\in\mathbb{Z}\)
\(\Leftrightarrow x=\dfrac{\pi}{4}+k\dfrac{\pi}{2},k\in\mathbb{Z}\)
Vậy phương trình có nghiệm là \(x=k\pi,k\in\mathbb{Z}\) và \(x=\dfrac{\pi}{4}+k\dfrac{\pi}{2},k\in\mathbb{Z}\)
Đáp án: D.
