Đề bài
Nghiệm âm lớn nhất của phương trình \(\sin 2x\sin 4x+\cos 6x=0\) là
A. \(-\dfrac{\pi}{12}\)
B. \(-\dfrac{\pi}{4}\)
C. \(-\dfrac{\pi}{8}\)
D. \(-\dfrac{\pi}{6}\).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Để giải phương trình ta sử dụng
- Công thức biến đôi tích thành tổng \(\sin x\sin y \)
\(= \dfrac{1}{2}\left[ {\cos (x - y) - \cos (x + y)} \right]\).
- Công thức biến đổi tổng thành tích \(\cos x + \cos y = 2\cos \dfrac{{x + y}}{2}\cos \dfrac{{x - y}}{2}\).
Lời giải chi tiết
Ta có: \(\sin 2x\sin 4x+\cos 6x=0\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{2}\left[ {\cos (4x – 2x) - \cos (4x+ 2x)} \right] +\)
\(\cos 6x=0\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{2}(\cos 2x-\cos 6x)+\cos 6x=0\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{2}(\cos 2x+\cos 6x)=0\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{2}2\cos \dfrac{{6x + 2x}}{2}\cos \dfrac{{6x – 2x}}{2}=0\)
\(\Leftrightarrow \cos 4x\cos 2x=0\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos 2x = 0\\\cos 4x=0\end{array} \right.\)
\(\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}2x=\dfrac{\pi}{2}+k\pi,k\in\mathbb{Z}\\4x=\dfrac{\pi}{2}+k\pi,k\in\mathbb{Z}\end{array} \right.\)
\(\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}x=\dfrac{\pi}{4}+k\dfrac{\pi}{2},k\in\mathbb{Z}\\x=\dfrac{\pi}{8}+k\dfrac{\pi}{4},k\in\mathbb{Z}\end{array} \right.\)
Với \(x=\dfrac{\pi}{4}+k\dfrac{\pi}{2}\) nghiệm âm lớn nhất là \(-\dfrac{\pi}{4}\) ứng với \(k=-1\)
Với \(x=\dfrac{\pi}{8}+k\dfrac{\pi}{4}\) nghiệm âm lớn nhất là \(-\dfrac{\pi}{8}\) ứng với \(k=-1\)
Vì \(-\dfrac{\pi}{8}>-\dfrac{\pi}{4}\) nên nghiệm âm lớn nhất là \(-\dfrac{\pi}{8}\)
Đáp án: C.
Cách trắc nghiệm:
Xét các giá trị từ lớn tới nhỏ trong các phương án.
Với giá trị lớn nhất là x = (-π)/12 thì cos6x = 0 còn sin2x ≠ 0, sin4x ≠ 0 nên (-π)/12 không phải là nghiệm. Vậy phương án A bị loại.
Với giá trị x = (-π)/8 thì sin2x = sin((-π)/4) = (-√2)/2, sin4x = sin((-π)/2) = -1,
cos6x = cos((-3π)/4) = (-√2)/2 nên x = (-π)/8 là nghiệm của phương trình.
