Đề bài
Gọi A′,B′,C′ tương ứng là ảnh của ba điểm A,B,C qua phép đồng dạng tỉ số k. Chứng minh rằng →A′B′.→A′C′=k2→AB.→AC.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng định nghĩa phép đồng dạng tỉ số k biến M thành M′ và N thành N′ thì M′N′=kMN.
Lời giải chi tiết
Theo định nghĩa của phép đồng dạng ta có B′C′=kBC, từ đó suy ra B′C′2=k2BC2.
⇒(→A′C′−→A′B′)2=k2(→AC−→AB)2
⇒A′C′2−2→A′C′.→A′B′+A′B′2=k2(AC2−2→AC.→AB+AB2)
⇔A′C′2−2→A′C′.→A′B′+A′B′2=k2AC2−2k2→AC.→AB+k2AB2
Mà A′C′2=k2AC2,A′B′2=k2AB2 nên:
A′C′2−2→A′C′.→A′B′+A′B′2=A′C′2−2k2→AC.→AB+A′B′2⇔−2→A′C′.→A′B′=−2k2→AC.→AB⇔→A′C′.→A′B′=k2→AC.→AB
Vậy →A′C′.→A′B′=k2→AC.→AB (đpcm).
