Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số
LG a
y=3−2|sinx|
Phương pháp giải:
Hàm số y=sinx có −1≤sinx≤1,∀x∈R
⇔0≤|sinx|≤1,∀x∈R
Lời giải chi tiết:
0≤|sinx|≤1⇔−2≤−2|sinx|≤0⇔3−2≤3−2|sinx|≤3⇔1≤3−2|sinx|≤3
Vậy GTLN của hàm số y=3−2|sinx| là 3 đạt được khi
sinx=0⇔x=kπ,k∈Z
GTNN của hàm số y=3−2|sinx| là 1 đạt được khi
sinx=±1⇔x=±π2+k2π,k∈Z.
LG b
y=cosx+cos(x−π3)
Phương pháp giải:
Sử dụng công thức phân tích tổng thành tích thu gọn hàm số.
Sử dụng lý thuyết −1≤cosx≤1,∀x∈R để đánh giá biểu thức ở trên.
Lời giải chi tiết:
Ta có: cosx+cos(x−π3)
=2cos(x−π6)cosπ6=√3cos(x−π6)
Do −1≤cos(x−π6)≤1
⇔−√3≤√3cos(x−π6)≤√3
Vậy hàm số y=cosx+cos(x−π3) có GTLN là √3 đạt được khi cos(x−π6)=1
⇔x−π6=k2π⇔x=π6+k2π,k∈Z
GTNN là−√3 đạt được khi cos(x−π6)=−1
⇔x−π6=π+k2π⇔x=7π6+k2π,k∈Z
LG c
y=cos2x+2cos2x
Phương pháp giải:
Sử dụng công thức nhân đôi để thu gọn biểu thức
Sử dụng lý thuyết −1≤cosx≤1,∀x∈R để đánh giá biểu thức ở trên.
Lời giải chi tiết:
Ta có:
cos2x+2cos2x
=1+cos2x2+2cos2x=1+5cos2x2
Do −1≤cos2x≤1
⇔−5≤5cos2x≤5⇔1−5≤1+5cos2x≤1+5⇔1−52≤1+5cos2x2≤1+52⇔−2≤1+5cos2x2≤3
Vậy hàm số y=cos2x+2cos2x có GTLN là 3
đạt được khi cos2x=1⇔2x=k2π
⇔x=kπ,k∈Z
GTNN là −2 đạt được khi cos2x=−1⇔2x=π+k2π
⇔x=π2+kπ,k∈Z
LG d
y=√5−2cos2xsin2x
Phương pháp giải:
Sử dụng công thức nhân đôi để thu gọn biểu thức
Hàm số y=sinx có −1≤sinx≤1,∀x∈R
⇔0≤|sinx|≤1⇔0≤sin2x≤1,∀x∈R
Lời giải chi tiết:
Ta có: 5−2cos2xsin2x=5−12sin22x
Do 0≤sin22x≤1
⇔−1≤−sin22x≤0⇔−12≤−12sin22x≤0⇔5−12≤5−12sin22x≤5⇔92≤5−12sin22x≤5⇔3√22≤√5−12sin22x≤√5
Vậy hàm số y=√5−2cos2xsin2x có GTLN là √5 đạt được khi −sin22x=0⇔sin2x=0
⇔2x=kπ⇔x=kπ2,k∈Z
GTNN là 3√22 đạt được khi −sin22x=−1⇔sin2x=±1
⇔2x=±π2+k2π
⇔x=±π4+kπ
⇔x=π4+kπ2,k∈Z.
