Đề bài
Từ các đỉnh của tam giác ABC ta kẻ các đoạn thẳng AA′, BB′, CC′ song song, cùng chiều, bằng nhau và không nằm trong mặt phẳng của tam giác. Gọi I, G và K lần lượt là trọng tâm của các tam giác ABC, ACC′, A′B′C′.
a) Chứng minh (IGK)∥(BB′CC′).
b) Chứng minh rằng (A′GK)∥(AIB′).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Để chứng minh hai mặt phẳng song song ta chứng minh mặt phẳng này chứa hai đường thẳng cắt nhau cùng song song với mặt phẳng kia.
{d cắt d′;d và d′⊂(α)d∥(β)d′∥(β)⇒(α)∥(β)
Bài toán sử dụng tính chất của trong tâm, định lý Talet.
Lời giải chi tiết
a) Gọi E, F, M lần lượt là trung điểm của là trung điểm của BC, B′C′, CC′.
I là trọng tâm của tam giác ABC
⇒AIAE=23.
G là trọng tâm của tam giác ACC′
⇒AGAM=23.
Từ đó suy ra AIAE=AGAM=23.
⇒IG∥EM mà EM⊂(BB′C′C)
⇒IG∥(BB′C′C) (1)
K là trọng tâm của tam giác (A′B′C′) khi đó A′KA′F=23.
Từ đó suy ra AIAE=AKAF=23.
⇒IK∥AA′ mà AA′∥BB′
⇒IK∥BB′ mà BB′⊂(BB′C′C)
⇒IK∥(BB′C′C) (2)
Mà IG,IK⊂(IGK) (3)
Từ (1), (2) và (3) suy ra (IGK)∥(BB′C′C).
b) Do E∈AI,AI⊂(AIB′)
⇒E∈(AIB′)
C∈A′G,A′G⊂(A′GK)
⇒C∈(A′GK)
Ta có B′E∥FC (do tứ giác B′FCG là hình bình hành).
Khi đó B′E∥(A′GK) (1)
AI∥A′K (do tứ giác A′FEA là hình bình hành).
Khi đó AI∥(A′GK) (2)
Mà B′E và AI⊂(AIB′) (3)
Từ (1), (2), (3) suy ra (A′GK)∥(AIB′).
