Đề bài
Giải phương trình sau
\(\cot x - 1 = \)
\(\dfrac{{\cos 2x}}{{1 + \tan x}} + {\sin ^2}x - \dfrac{1}{2}\sin 2x\).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Tìm ĐKXĐ của phương trình.
ĐKXĐ của hàm số dạng \(y = \dfrac{{f(x)}}{{g(x)}}\) là \(g(x) \ne 0\).
Sử dụng công thức \(\cot x = \dfrac{1}{{\tan x}}\); công thức nhân đôi \(\cos 2x = 2{\cos ^2}x - 1\); \(\sin 2x = 2\sin x\cos x\); \(\dfrac{1}{{{{\sin }^2}x}} = 1 + {\cot ^2}x\); \(\dfrac{1}{{{{\cos }^2}x}} = {\tan ^2}x + 1\) để đưa phương trình về phương trình của hàm \(\tan x\).
Sau đó ta đặt \(t = \tan x\) để phương trình dễ nhìn hơn.
Sử dụng hằng đẳng thức số ba \({a^2} - {b^2} = (a - b)(a + b)\) để thu gọn phương trình.
Lời giải chi tiết
ĐKXĐ: \(\sin x \ne 0\); \(\cos x \ne 0\) và \(\tan x \ne - 1\).
Ta có: \(\cot x = \dfrac{1}{{\tan x}}\);
\(\begin{array}{l}\cos 2x = 2{\cos ^2}x - 1\\ = 2\dfrac{1}{{{{\tan }^2}x + 1}} - 1\\ = \dfrac{{1 - {{\tan }^2}x}}{{{{\tan }^2}x + 1}}\end{array}\);
\(\begin{array}{l}{\sin ^2}x = 1 - {\cos ^2}x\\ = 1 - \dfrac{1}{{{{\tan }^2}x + 1}} = \dfrac{{{{\tan }^2}x}}{{{{\tan }^2}x + 1}}\end{array}\);
\(\begin{array}{l} - \dfrac{1}{2}\sin 2x = - \sin x\cos x\\ = - \dfrac{{\sin x}}{{\cos x}}{\cos ^2}x = - \tan x\dfrac{1}{{{{\tan }^2}x + 1}}\end{array}\)
Phương trình \(\cot x - 1 \)
\(=\dfrac{{\cos 2x}}{{1 + \tan x}} + {\sin ^2}x - \dfrac{1}{2}\sin 2x\)
\( \Leftrightarrow \dfrac{1}{{\tan x}} - 1 \)
\(=\dfrac{{\dfrac{{1 - {{\tan }^2}x}}{{{{\tan }^2}x + 1}}}}{{1 + \tan x}} + \dfrac{{{{\tan }^2}x}}{{{{\tan }^2}x + 1}} - \dfrac{{\mathop{\rm \tan x}\nolimits} }{{{{\tan }^2}x + 1}}\)
Đặt \(t = \tan x\) ta được \(\dfrac{1}{t} - 1 = \dfrac{{\dfrac{{1 - {{\mathop{\rm t}\nolimits} ^2}}}{{{{\mathop{\rm t}\nolimits} ^2} + 1}}}}{{1 + {\mathop{\rm t}\nolimits} }} + \dfrac{{{{\mathop{\rm t}\nolimits} ^2}}}{{{{\mathop{\rm t}\nolimits} ^2} + 1}} - \dfrac{{\mathop{\rm t}\nolimits} }{{{{\mathop{\rm t}\nolimits} ^2} + 1}}\)
\( \Leftrightarrow \dfrac{1}{t} - 1 = \dfrac{{1 - t}}{{{t^2} + 1}} + \dfrac{{{t^2} - t}}{{{t^2} + 1}}\)
\( \Leftrightarrow \dfrac{{1 - t}}{t} = \dfrac{{1 - t}}{{{t^2} + 1}} + \dfrac{{t(t - 1)}}{{{t^2} + 1}}\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}1 - t = 0\\\dfrac{1}{t} = \dfrac{1}{{{t^2} + 1}} - \dfrac{t}{{{t^2} + 1}}\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 1\\{t^2} + 1 = (1 - t)t\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 1\\2{t^2} - t + 1 = 0\text{(vô nghiệm)}\end{array} \right.\)
\(\begin{array}{l}t = 1 \Leftrightarrow \tan x = 1\\ \Leftrightarrow x = \dfrac{\pi }{4} + k\pi \in \mathbb{Z}\text{(thỏa mãn)}\end{array}\)
Vậy phương trình có nghiệm là \(x = \dfrac{\pi }{4} + k\pi \in \mathbb{Z}\).
Cách khác:
Điều kiện của phương trình: sinx ≠ 0, cos ≠ 0, tan ≠ -1.
Biến đổi tương đương đã cho, ta được
Phương trình (2) vô nghiệm vì |sin2x + cos2x| ≥ √2.
Phương trình (1) có nghiệm 2x = π/2+kπ,k ∈ Z ⇒ x = π/4+ k π/2,k ∈ Z.
Giá trị x = π/4+ k π/2, k = 2n + 1, với n ∈ Z bị loại do điều kiện tanx ≠ -1.
Vậy phương trình có nghiệm là \(x = \dfrac{\pi }{4} + k\pi \in \mathbb{Z}\).
