Có bao nhiêu cách xếp \(5\) bạn nam và \(5\) bạn nữ vào \(10\) ghế được kê thành hàng ngang, sao cho:
LG a
Nam và nữ ngồi xen kẽ nhau ?
Phương pháp giải:
Quy tắc cộng: “Một công việc được hoàn thành bởi một trong hai hành động. Nếu hành động này có \(m\) cách thực hiện, hành động kia có \(n\) cách thực hiện không trùng với bất kì hành động nào của hành động thứ nhất thì công việc đó có \(m+n\) cách thực hiện.
Ta đánh số từ \(1\) đến \(10\) cho ghế, vị trí “nam nữ ngồi xen kẽ nhau” khi đó hoặc nam sẽ ngồi số chẵn nữ ngồi số lẻ, hoặc nam ngồi số lẻ nữ ngồi số chẵn. Hoàn thành cách sắp xếp vị trí bởi một trong hai trường hợp là bài toán thuộc dạng bài toán hoàn thành công việc bởi một trong hai hành động nên sử dụng quy tắc cộng.
Định nghĩa: Cho tập hợp \(A\) gồm \(n\) phần tử \((n\ge 1)\).
Mỗi kết quả của sự sắp xếp thứ tự \(n\) phần tử của tập hợp \(A\) được gọi là hoán vị của \(n\) phần tử đó.
Số các hoán vị là: \(\text{P}=n!\)
Do đó “sắp xếp \(5\) bạn vào \(5\) vị trí" là bài toán hoán vị.
Lời giải chi tiết:
Để xác định, các ghế được đánh số từ \(1\) đến \(10\) tính từ trái sang phải.
Nếu các bạn nam ngồi ở các ghế ghi số lẻ thì các bạn nữ ngồi ở các ghế còn lại. Có \(5!\) cách xếp bạn nam, \(5!\) cách xếp bạn nữ. Tất cả có \({\left( {5!} \right)^2}\) cách xếp.
Nếu các bạn nam ngồi ở các ghế ghi số chẵn, các bạn nữ ngồi ở các ghế còn lại thì có \({\left( {5!} \right)^2}\) cách xếp nam và nữ.
Vậy có tất cả \(2.{\left( {5!} \right)^2}\) cách xếp nam nữ ngồi xen kẽ nhau.
LG b
Các bạn nam ngồi liền nhau?
Phương pháp giải:
Bài toán sử dụng
- Quy tắc cộng
- Quy tắc nhân
Lời giải chi tiết:
Các bạn nam được bố trí ngồi ở các ghế từ \(k\) đến \(k+4\), \(k=1, 2, 3, 4, 5, 6\) (\(6\) trường hợp)
Trong mỗi trường hợp, \(5\) bạn nam xếp vào \(5\) vị trí nên có \(5!\) cách xếp
\(5\) bạn nữ xếp vào \(5\) vị trí nên có \(5!\) cách xếp
Theo quy tắc nhân, có \(5!.5!={5!}^2\) cách xếp.
Vậy theo quy tắc cộng, có \(6.{\left( {5!} \right)^2}\) cách xếp mà các bạn nam ngồi cạnh nhau.
Chú ý:
Có thể lập luận khác như sau:
Gom 5 bạn nam (ngồi cạnh nhau) thành 1 bạn N.
Có 5! cách đổi chỗ cho 5 bạn này.
Lúc này xếp chỗ cho bạn N và 5 bạn nữ có 6! cách xếp.
Theo quy tắc nhân ta có 5!.6! cách xếp.
