Giải các phương trình sau
LG a
\(1+\sin x-\cos x-\sin 2x+2\cos 2x=0\)
Phương pháp giải:
Ta rút gọn phương trình bằng cách:
-Sử dụng công thức \({(\sin x-\cos x)}^2\)
\(={\sin}^2 x-2\sin x\cos x+{\cos}^2 x\)
\(=1-\sin 2x\)
-Sử dụng công thức nhân đôi \(\cos 2x={\cos}^2 x-{\sin}^2 x\)
Lời giải chi tiết:
Ta có:
\({(\sin x-\cos x)}^2\)
\(={\sin}^2 x-2\sin x\cos x+{\cos}^2 x\)
\(=1-\sin 2x\)
Do đó \(1-\sin 2x=(\sin x-\cos x)^2\)
Khi đó: \(1+\sin x-\cos x-\)
\(\sin 2x+2\cos 2x=0\)
\(\Leftrightarrow (1-\sin 2x)+(\sin x-\cos x)+2\cos 2x=0\)
\(\Leftrightarrow {(\sin x-\cos x)}^2+(\sin x-\cos x)\)
\(+2({\cos}^2 x-{\sin}^2 x)=0\)
\(\Leftrightarrow (\sin x-\cos x)[\sin x-\cos x+1\) \(-2(\cos x+\sin x)]=0\)
\(\Leftrightarrow (\sin x-\cos x)(1-\sin x-3\cos x)=0\)
\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \sin x-\cos x=0 \\1-\sin x-3\cos x=0 \end{array} \right. \)
\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \sin x=\cos x \\\sin x+3\cos x=1 \end{array} \right. \)
\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \tan x=1 \text{(1)}\\\dfrac{1}{\sqrt{10}}\sin x+\dfrac{3}{\sqrt{10}}\cos x=\dfrac{1}{\sqrt{10}}\text{(2)} \end{array} \right. \)
\(\text{(1)}\Leftrightarrow x=\dfrac{\pi}{4 }+k\pi,k\in\mathbb{Z}\)
Giải phương trình \(\text{(2)}\) ta đặt \(\dfrac{1}{\sqrt{10}}=\sin\alpha\) và \(\dfrac{3}{\sqrt{10}}=\cos\alpha\) ta được \(\cos\alpha\cos x+\sin\alpha\sin x=\dfrac{1}{\sqrt{10}}\)
\(\Leftrightarrow \cos(x-\alpha)=\dfrac{1}{\sqrt{10}}\)
\(\Leftrightarrow x-\alpha=\pm\arccos\dfrac{1}{\sqrt{10}},k\in\mathbb{Z}\)
\(\Leftrightarrow x=\alpha\pm\arccos\dfrac{1}{\sqrt{10}},k\in\mathbb{Z}\)
Vậy phương trình có nghiệm là: \( x=\dfrac{\pi}{4 }+k\pi,k\in\mathbb{Z}\) và \( x=\alpha\pm\arccos\dfrac{1}{\sqrt{10}},k\in\mathbb{Z}\).
LG b
\(\sin x-\dfrac{1}{\sin x}={\sin}^2 x-\dfrac{1}{{\sin}^2 x }\)
Phương pháp giải:
Tìm ĐKXĐ của phương trình.
Nhóm các số hạng với nhau để có nhân tử chung.
Lời giải chi tiết:
ĐKXĐ: \(\sin x\ne 0\)
Ta có: \(\sin x-\dfrac{1}{\sin x}={\sin}^2 x-\dfrac{1}{{\sin}^2 x }\)
\(\Leftrightarrow (\sin x-{\sin}^2 x)+\)
\({\left({\dfrac{1}{{\sin}^2 x}-\dfrac{1}{\sin x}}\right)}=0\)
\(\Leftrightarrow \sin x(1-\sin x)+\dfrac{1-\sin x}{{\sin}^2 x}=0\)
\(\Leftrightarrow (1-\sin x)({\sin}^3 x+1)=0\)
\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \sin x=1 \\\sin x=-1 \end{array} \right. \)
\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x=\dfrac{\pi}{2}+k2\pi,k\in\mathbb{Z}\text{(thỏa mãn)} \\x=-\dfrac{\pi}{2}+k2\pi,k\in\mathbb{Z}\text{(thỏa mãn)} \end{array} \right. \)
\(\Leftrightarrow x=\dfrac{\pi}{2}+k\pi ,k\in\mathbb{Z}\).
LG c
\(\cos x\tan 3x=\sin 5x\)
Phương pháp giải:
Tìm ĐKXĐ
Sử dụng công thức \(\tan 3x=\dfrac{\sin 3x}{\cos 3x}\)
Sử dụng công thức biến đổi tích thành tổng.
Lời giải chi tiết:
ĐKXĐ: \(\cos 3x\ne 0\)
\(\Leftrightarrow x\ne \dfrac{\pi}{6}+k\dfrac{\pi}{3},k\in\mathbb{Z}\)
Ta có: \(\cos x\tan 3x=\sin 5x\)
\(\Leftrightarrow \cos x\dfrac{\sin 3x}{\cos 3x}=\sin 5x\)
\(\Leftrightarrow \cos x\sin 3x=\sin 5x\cos 3x\)
\(\Leftrightarrow \dfrac{1}{2}(\sin 4x+\sin 2x)\)
\(=\dfrac{1}{2}(\sin 8x+\sin 2x)\)
\(\Leftrightarrow \sin 8x=\sin 4x\)
\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} 8x=4x+k2\pi,k\in\mathbb{Z}\\8x=\pi-4x+k2\pi,k\in\mathbb{Z} \end{array} \right. \)
\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x=k\dfrac{\pi}{2},k\in\mathbb{Z}\\x=\dfrac{\pi}{12}+ k\dfrac{\pi}{6},k\in\mathbb{Z} \end{array} \right. \)
Kết hợp với ĐKXĐ ta được nghiệm của phương trình là \( x=k\pi,k\in\mathbb{Z}\) và \( x=\dfrac{\pi}{12}+ k\dfrac{\pi}{6},k\in\mathbb{Z}\).
LG d
\(2{\tan}^2 x+3\tan x+\)
\(2{\cot}^2 x+3\cot x+2=0\)
Phương pháp giải:
Tìm ĐKXĐ
Nhóm các số hạng một cách thích hợp để giải phương trình
Thêm bớt \(VT\) để có hằng đẳng thức
Lời giải chi tiết:
ĐKXĐ: \(\cos\ne0\) và \(\sin x\ne0\).
Ta có: \(2{\tan}^2 x+3\tan x+\)
\(2{\cot}^2 x+3\cot x+2=0\)
\(\Leftrightarrow (2{\tan}^2 x+2{\cot}^2 x)\)
\(+(3\tan x+3\cot x)+2=0\)
\(\Leftrightarrow 2[{(\tan x+\cot x)}^2-2\tan x\cot x]+\)
\(3(\tan x+\cot x)+2=0\)
\(\Leftrightarrow 2[{(\tan x+\cot x)}^2-2]+\)
\(3(\tan x+\cot x)+2=0\)
Đặt \(\tan x+\cot x=t\) ta được phương trình \(2t^2+3t-2=0\)
\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} t=-2\\t=\dfrac{1}{2}\end{array} \right. \)
Với \(t=-2\) ta có \(\tan x+\cot x=-2\)
\(\Rightarrow \tan x+\dfrac{1}{\tan x}=-2\)
\(\Rightarrow {\tan}^2 x+1=-2\tan x\)
\(\Rightarrow \tan x=-1\)
\(\Rightarrow x=-\dfrac{\pi}{4}+k\pi,k\in\mathbb{Z}\text{(thỏa mãn)}\)
Với \(t=\dfrac{1}{2}\) ta có \(\tan x+\cot x=\dfrac{1}{2}\)
\(\Rightarrow \tan x+\dfrac{1}{\tan x}=\dfrac{1}{2}\)
\(\Rightarrow 2{\tan}^2 x+2=\tan x\text{(Vô nghiệm)}\)
Vậy phương trình có nghiệm là \( x=-\dfrac{\pi}{4}+k\pi,k\in\mathbb{Z}\).
