Chọn đáp án đúng:
1
Cho hai điểm phân biệt A, B và đường thẳng d song song với đoạn thẳng AB. Điểm C chạy trên đường thẳng d. Tập hợp các trọng tâm của tam giác ABC là
A. một đường thẳng song song với d.
B. hai đường thẳng song song với d.
C. một mặt phẳng song song với d.
D. hai mặt phẳnh song song với d.
Lời giải chi tiết:
Gọi I là trung điểm của AB, khi đó I cố định và trọng tâm G của tam giác ABC thuộc trung tuyến CI sao cho IG→ = 1/3 IC→ . Do đó có thể xem G là ảnh của C qua phép vị tự tâm I, tỉ số 1/3. Vậy tập hợp các trọng tâm của tam giác ABC là đường thẳng d’ song song với d.
Chọn đáp án: A
2
Cho đường thẳng d có phương trình x + 2y - 4 = 0 trong mặt phẳng Oxy. Đường thẳng d' là ảnh của d qua phép vị tự tâm O, tỉ số -2 có phương trình là
A. x + 2y + 2 = 0 B. -2x - 4y + 8 = 0
C. x + 2y + 4 = 0 D. x + 2y + 8 = 0
Lời giải chi tiết:
Phép vị tự tâm O, tỉ số -2 biến điểm M(x;y) thành điểm M’(x’;y’) thỏa mãn
\(\left\{ \begin{array}{l}
x' = - 2x\\
y' = - 2y
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = - \frac{1}{2}x'\\
y = - \frac{1}{2}y'
\end{array} \right.\)
Thay x, y vào phương trình d: x + 2y – 4 = 0, ta được:
((-1)/2 x') + 2((-1)/2 y') - 4 = 0
⇔ -x’ – 2y’ – 8 = 0
⇔ x’ + 2y’ + 8 = 0
Chọn đáp án: D
3
Cho đường thẳng d có phương trình x + 2y - 4 = 0 trong mặt phẳng Oxy. Đường thẳng d' là đối xứng của đường thẳng d qua trục Oy có phương trình là
A. x + 2y + 2 = 0 B. x - 4y - 8 = 0
C. x - 2y + 4 = 0 D. -x + 2y + 4 = 0
Lời giải chi tiết:
Phép đối xứng qua trục Oy biến điểm M(x;y) thành điểm M’(-x;y) nên biến đường thẳng d có phương trình x + 2y – 4 = 0 thành đường thẳng d’ có phương trình -x + 2y – 4 = 0.
Chọn đáp án: C
4
Tứ diện OABC có các cạnh OA, OB, OC vuông góc với nhau từng đôi một và có OA = a, OB = b, OC = c. Khoảng cách từ điểm O tới mặt phẳng (ABC) là
Lời giải chi tiết:
Chọn đáp án: C
5
Hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông ABCD vuông tại A và B. Hình thang có cạnh AD = 2a, AB = BC = a và hình chóp có cạnh SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Góc ∠SCA có số đo là
A. 60ο B. 90ο
C. 30ο D. 45ο
Lời giải chi tiết:
Ta có CD ⊥ AC; CD ⊥ SA ⇒ CD ⊥ (SAC) ⇒ ∠(SCD) = 90o.
Chọn đáp án: B
6
Hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông ABCD vuông tại A và B. Hình thang có cạnh AD = 2a, AB = BC = a. Hình chóp có cạnh SA = a√2 và SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SC là
A. (a√3)/3 B. a√2
C. a√6 D. (a√6)/3
Lời giải chi tiết:
Gọi K là trung điểm của cạnh AD. Ta có AB // (SCK).
Dựng AH ⊥ SK, ta thấy AH chính là khoảng cách giữa AB và SC.
Ta có: AH. SK = AS. AK.
Suy ra AH = (AS.AK)/SK = (a√6)/3.
Chọn đáp án: D
7
Hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh a và có mặt bên SAB là tam giác nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng (ABCD) với SA = SB = (a√5)/2. Khoảng cách giữa hai đường thẳng SC và AB là
Lời giải chi tiết:
Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và CD. Vẽ MH vuông góc với SN, ta có AB // (SCD), suy ra: d(AB, SC) = d(M, SCD) = MH = (a√2)/2.
Chọn đáp án: B
8
Hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh a, cạnh SA = a và vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Mặt phẳng (α) qua A và vuông góc với SC cắt SB tại B'. Góc hợp bởi hai đường thẳng AB' và SB có độ lớn là
A. 30ο B. 45ο
C. 60ο D. 90ο
Lời giải chi tiết:
Ta có AB’ ⊥ SC; AB’⊥ BC ⇒ AB’⊥ (SBC) ⇒ ∠((AB',SB)) = 90o.
Chọn đáp án: D
9
Hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD tâm O cạnh a. Đường thẳng SO vuông góc mặt phẳng (ABCD) và đoạn SO = a/2. Khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) là
Lời giải chi tiết:
Do AC = 2OC nên d(A, (SBC)) = 2d(O, (SBC)). Vẽ trung điểm M của BC và OH vuông góc với SM. Ta có:
OH ⊥ CM, OH ⊥ BC ⇒ OH ⊥ (SBC) ⇒ d(O, (SBC)) = OH = (a√2)/4.
⇒ d(A, (SBC)) = (a√2)/2.
Chọn đáp án: C
10
Hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD tâm O cạnh a. Đường thẳng SO vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và đoạn SO = a/2. Gọi (α) là mặt phẳng qua AD và vuông góc với mặt phẳng (SBC). Góc giữa (α) và (ABCD) có độ lớn là
A. 30ο B. 45ο
C. 60ο D. 90ο
Lời giải chi tiết:
Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD và BC.
Ta có OS = OM = ON. Suy ra tam giác MSN vuông cân tại S. Do SM vuông góc với (SBC) nên (SAD) chính là mặt phẳng (α) qua AD và vuông góc với mặt phẳng (SBC). Ta có góc giữa (α) và (ABCD) là ∠(SMN) = 45o.
Chọn đáp án: B
11
Cho tam giác đều SAB và hình vuông ABCD cạnh a nằm trong hai mặt phẳng vuông góc với nhau. Khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SCD) là
Lời giải chi tiết:
Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và CD. Vẽ MH vuông góc với SN, ta có AB // (SCD), suy ra: d(A, (SCD)) = d(M, (SCD)) = MH.
Ta có:
\(\dfrac{1}{{M{H^2}}} = \dfrac{1}{{M{S^2}}} + \dfrac{1}{{M{N^2}}} = \dfrac{7}{{3{a^2}}} \) \(\Rightarrow MH = \dfrac{{a\sqrt {21} }}{7}\)
Chọn đáp án: A
12
Hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh a, các cạnh bên đều bằng a√3. Khoảng cách từ S đến mặt phẳng (ABCD) là
Lời giải chi tiết:
Do SA = SB = SC = SD nên SO vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Ta có khoảng cách từ S đến mặt phẳng (ABCD) bằng độ dài SO và bằng (a√10)/2.
Chọn đáp án: D
13
Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' cạnh a. Độ dài đoạn vuông góc chung của A'D' và BC' là
A. a/2 B. a
C. a√2 D. (a√2)/2
Lời giải chi tiết:
Gọi M, N lần lượt là trung điểm của A’D và BC’, ta có MN là đoạn vuông góc chung của A’D và BC’ và có độ dài là a.
Chọn đáp án: B
14
Cho hình vuông ABCD tâm O, cạnh a. Trên hai tia Bx và Dy vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và cùng nằm về một phía của mặt phẳng (ABCD) lần lượt lấy hai điểm M và N sao cho: BM. DN = a2/2. Đặt ∠BOM = α, ∠DON = β.
Giá trị của biểu thức T = tanα.tanβ là
A. 1 B. 2
C. 4a2 D. a2/2
Lời giải chi tiết:
Chọn đáp án: A
15
Cho tam giác ABC có A(2;4), B(5;1), C(-1;-2). Phép tịnh tiến TBC→ biến tam giác ABC thành tam giác A'B'C' có tọa độ trọng tâm G' là
A. (4;2) B. (-4;2)
C. (-4;-2) D. (4;-2)
Lời giải chi tiết:
\(\overrightarrow {BC} = \left( { - 6; - 3} \right)\)
Chọn đáp án: C
16
Trong mặt phẳng Oxy, tọa độ ảnh của điểm M(-6;1) qua phép quay Q(O;90ο) là
A. (6;1) B. (1;6)
C. (-6;-1) D. (-1;-6)
Lời giải chi tiết:
M’(-1; -6).
Chọn đáp án: D
17
Phương trình ảnh của đường tròn (C): (x - 2)2 + (y + 3)2 = 4 qua phép đối xứng trục Oy là
A. (x + 2)2 + (y - 3)2 = 4
B. (x - 2)2 + (y - 3)2 = 4
C. (x - 2)2 + (y + 3)2 = 4
D. (x + 2)2 + (y + 3)2 = 4
Lời giải chi tiết:
(C) có tâm I(2; -3) bán kính R = 2. (C’) có tâm I’(-2; -3) bán kính R’ = R = 2.
Suy ra phương trình của (C’) là (x+2)2 + (y+3)2 = 4.
Chọn đáp án: D
18
Ảnh của điểm M qua phép tịnh tiến theo vectơ \(\overrightarrow u = \left( {3;4} \right)\) là N và ảnh của điểm N qua phép tịnh tiến theo vectơ \(\overrightarrow v = \left( {1; - 1} \right)\) là P. Độ dài của đoạn thẳng MP là
A. 5 B. √5 C. 4 D. 3
Lời giải chi tiết:
Ta có \(\overrightarrow {MP} = \overrightarrow {MN} + \overrightarrow {NP} \) \( = \overrightarrow u + \overrightarrow v = \left( {4;3} \right)\)
\( \Rightarrow MP = 5\)
Chọn đáp án: A
19
Cho tứ diện ABCD. Các điểm M, N lần lượt là trung điểm BD, AD. Các điểm H, G lần lượt là trọng tâm các tam giác BCD, ACD. Đường thẳng HG chéo với đường thẳng
A. MN B. CD C. CN D. AB
Lời giải chi tiết:
Trong tam giác CMN, ta có: \(\dfrac{{CH}}{{CM}} = \dfrac{{CG}}{{CN}} = \dfrac{1}{3}\)
Nên HG // MN. Mặt khác MN // AB nên HG // AB. Rõ ràng, CN cắt HG.
Chọn đáp án: B
20
Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình thang với AD // BC, BC ≤ AD, M là trung điểm SC. Mặt phẳng qua AM và song song với BC cắt đường thẳng SD tại Q. Tỉ số SQ/SD có giá trị là
A. 4/3 B. 3/4 C. 1/2 D. 1
Lời giải chi tiết:
Do AD // BC nên (ADM) chính là mặt phẳng qua AM, song song với BC. Vậy giao điểm của mặt phẳng qua AM, song song với BC và đường thẳng SD chính là D.
Vậy \(\dfrac{{SQ}}{{SD}} = \dfrac{{SD}}{{SD}} = 1\)
Chọn đáp án: D
21
Cho hình chóp S.ABCD với đáy ABCD là hình bình hành. Gọi A', B', C', D' lần lượt là trung điểm các cạnh SA, SB, SC, SD. Gọi M là điểm bất kì trên BC. Thiết diện của (A'B'M') với hình chóp S.ABCD là
A. Hình thang B. Hình bình hành
C. Hình thoi D. Hình chữ nhật
Lời giải chi tiết:
Nhận xét rằng tứ giác A’B’C’D’ là hình bình hành.
Ta có: A’B’ // AB và M là điểm chung của (A’B’M) và (ABCD)
Do đó giao tuyến của (A’B’M) và (ABCD) là Mx song song với AB và A’B’.
Gọi N = Mx ∩ AD.
Vậy thiết diện là hình thang A’B’MN.
Chọn đáp án: A
22
Cho hình chóp S.ABCD với M, N lần lượt là hai điểm lấy trên các cạnh AB, CD. Gọi (α) là mặt phẳng qua MN và song song với SA. Khi đó thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng (α) là
A. hình thang B. hình tam giác
C. hình tứ giác D. hình ngũ giác
Lời giải chi tiết:
+ Mặt phẳng (α) song song với SA mà SA ⊂ (SAB), M ∈ (α) ∩ (SAB). Ta biết một điểm chung M của mặt phẳng (α) và (SAB) đồng thời biết phương của giao tuyến là phương song song với SA.
Vậy (α) ∩ (SAB) = MP với MP // SA, P thuộc SB.
+ Tương tự gọi R = AC ∩ MN là một điểm chung của (α) và (SAC) đồng thời (α) song song với SA mà SA ∈ (SAC) nên ta có (α) ∩ (SAC) = RQ, RQ // SA, Q ∈ SC. Nên đoạn giao tuyến (α) và (SCD) là đoạn QN.
+ Đoạn giao tuyến của (α) và (SBC) là PQ.
Vậy giả thiết là tứ giác MNPQ.
Chọn đáp án: C
23
Cho tứ diện ABCD. Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. Hình chiếu song song K của G trên mặt phẳng (BCD) theo phương chiếu AD là
A. trực tâm tam giác BCD.
B. trọng tâm tam giác BCD.
C. một điểm bất kì trong tam giác BCD.
D. điểm H sao cho GH ⊥ (BCD).
Lời giải chi tiết:
Từ giả thiết ta có: GK // AD, AG ∩ DK = E với E là trung điểm của BC. Từ đó ta có:
\(\dfrac{{EK}}{{KD}} = \dfrac{{EG}}{{GA}} = \dfrac{1}{2}\)
\( \Rightarrow \) K là trọng tâm tam giác BCD
Chọn đáp án: B
24
Cho bốn điểm A, B, C, S không cùng nằm trong một mặt phẳng. Gọi I, H lần lượt là trung điểm của SA, AB. Trên SC lấy điểm K sao cho CK = 3KS. Gọi E là giao điểm của đường thẳng BC với mặt phẳng (IHK). Khẳng định nào sau đây là đúng?
Lời giải chi tiết:
IH là đường trung bình trong tam giác SAB nên song song với SB.
Do đó, hai mặt phẳng (SBC) và (IHK) lần lượt chứa hai đường thẳng SB, IH song song với nhau sẽ cắt nhau theo giao tuyến KE song song với SB. Khi đó: \(\dfrac{{BE}}{{BC}} = \dfrac{{SK}}{{SC}} = \dfrac{1}{4}\)
Chọn đáp án: D
25
Cho tứ giác ABCD và một điểm S không thuộc mặt phẳng (ABCD). Trên đoạn SC lấy một điểm M không trùng với S và C. Gọi N là giao điểm của đường thẳng SD với mặt phẳng (ABM). Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. AN = (ABM) ∩ (SAD) B. AN = (ABM) ∩ (SBC)
C. AN = (ABM) ∩ (SCD) D. AN = (ABM) ∩ (SAC)
Lời giải chi tiết:
Ta có: B ∈ (ABM) ∩ (SBD) (1)
Gọi O = AC ∩ BD, K = AM ∩ SO.
Khi đó: K ∈ AM ⊂(ABM) & K ∈ SO ⊂(SBD) ⇒ K ∈ (ABM) ∩ (SBD) (2)
Từ (1) và (2) suy ra (ABM) ∩ (SBD) = BK.
Trong mặt phẳng (SBD), gọi N = BK ∩ SD.
Khi đó: N∈ SD & N ∈ BK ⊂(ABM) ⇒ N = (ABM) ∩ SD.
Dễ thấy AN = (ABM) ∩ (SAD).
Chọn đáp án: A
26
Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' và các điểm M, N lần lượt thuộc các cạnh AB, DD' (M, N không trùng với các đầu mút của các cạnh). Thiết diện của hình hộp bị cắt bởi mặt phẳng (MNB) là
A. hình thoi B. hình chữ nhật
C. hình bình hành D. hình thang cân
Lời giải chi tiết:
Ta có:
(MNB) ∩ (AA’B’B) = MB
(MNB) ∩ (AA’D’D) = AN
(MNB) ∩ (DD’C’C) = NL
Trong đó L = x ∩ CC’, L ∈ x // CD, x đi qua N.
(MNB) ∩ (BB’C’C) = LB ⇒ thiết diện là tứ giác ABLN (1)
Mặt khác: (LN //DC, LM = DC & DC //AB, DC = AB ⇒ LN // AB, LN = AB (2)
Từ (1) và (2) suy ra thiết diện cần tìm là hình bình hành.
Chọn đáp án: C
27
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. M, N lần lượt là trung điểm của SD, DC. Điểm P thay đổi trên cạnh BD, BP/BD = k. Để thiết diện của mp(MNP) và hình chóp là tứ giác thì giá trị k thỏa mãn điều kiện nào sau đây?
A. 0 ≤ k ≤ 1/2 B. 0 ≤ k ≤ 2/3
C. 1/2 ≤ k ≤ 3/4 D. 0 ≤ k ≤ 3/4
Lời giải chi tiết:
Gọi G là giao điểm của AN và BD.
Trong mp(ABCD), khi P thay đổi trên đoạn BG (P ≠ G), đường thẳng NP luôn cắt đoạn AB tại một điểm E (E thay đổi trên AB, E ≠ A), đường thẳng EN cắt đường thẳng AD tại I.
Trong mp(SAD), đường thẳng IM cắt SA tại F. Thiết diện là tứ giác MNEF.
Khi P chạy từ G đến D, đường thẳng NP cắt đoạn AD tại I. Thiết diện là tam giác MNI.
Vậy đáp án là 0 ≤ k ≤ 2/3.
Chọn đáp án: B
28
Cho tứ diện ABCD, gọi G1, G2, G3 lần lượt là trọng tâm các tam giác ABC, ACD, ADB. Diện tích thiết diện tạo bởi mặt phẳng (G1G2G3) bằng k lần diện tích tam giác BCD. Giá trị của k là
A. 4/9 B. 2/3 C. 3/4 D. 1/2
Lời giải chi tiết:
Gọi I, J, K lần lượt là trung điểm BC, CD, DB.
Ta có: \(\dfrac{{A{G_1}}}{{AI}} = \dfrac{{A{G_2}}}{{AJ}} = \dfrac{{A{G_3}}}{{AK}} = \dfrac{2}{3}\) nên \({G_1}{G_2}//IJ,{G_1}{G_3}//IK\)
Suy ra (G1G2G3) // (BCD).
Do vậy, giao tuyến của (G1G2G3) và (ABC) là đường thẳng qua G1 song song với BC, đường thẳng này cắt AB, AC lần lượt tại M, N, MG3 ∩ AD = P.
Thiết diện là tam giác MNP.
Tam giác MNP có các cạnh tương ứng song song với các cạnh của tam giác BCD và \(\dfrac{{MN}}{{BC}} = \dfrac{{NP}}{{CD}} = \dfrac{{PM}}{{BD}} = \dfrac{2}{3}\) nên diện tích tam giác MNP bằng 4/9 lần diện tích tam giác BCD hay k = 4/9.
Chọn đáp án: A
29
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a, tam giác SAB đều , SC = SD = a√3. Gọi H, K lần lượt là trung điểm của SA, SB. M là một điểm trên cạnh AD, mặt phẳng (HKM) cắt BC tại N. Đặt AM = x (0 ≤ x ≤ a). Giá trị x để diện tích thiết diện HKMN đạt giá trị nhỏ nhất là
A. x = 3a/4 B. x = a/2
C. x = 0 D. x = a.
Lời giải chi tiết:
Mặt phẳng (HKM) và (ABCD) chứa hai đường thẳng song song HK và AB nên giao tuyến của chúng là MN cũng song song với HK và AB. Xét hai tam giác HAM và KBN có:
BN = AM; BK = AH; ∠(KBN) = ∠(MAH) (do ΔSBC = ΔSAD nên ΔHAM = ΔKBN)
Từ đó suy ra: MH = KN. MHKN là hình thang cân có hai đáy MN = a; HK = a/2.
Sử dụng định lý hàm số cos cho tam giác SAD ta tính được cos ∠(HAD) = (-1)/2.
Ta tính được: HM2 = HA2 + AM2 – 2HA.AM.((-1)/2) = (a2+4x2+2ax)/4.
Đường cao của hình thang cân được tính bằng công thức:
\(\sqrt {H{M^2} - {{\left( {\dfrac{{MN - HK}}{2}} \right)}^2}} \) \( = \dfrac{1}{4}\sqrt {16{x^2} + 8ax + 3{a^2}} \)
Do hai đáy có độ dài không đổi nên diện tích thiết diện bé nhất khi đường cao bé nhất đạt khi x = 0.
Chọn đáp án: C
30
Cho hai hình vuông có chung cạnh AB và nằm trong hai mặt phẳng khác nhau. Trên các đường chéo AC và BF ta lấy các điểm MN sao cho AM = BN. Mặt phẳng (P) chứa MN và song song với AB cắt AD và AF lần lượt tại M', N' khẳng định nào sau đây là đúng?
A. MN cắt mp(DFE) B. Tứ giác MNN'M' là hình bình hành
C. AC, BF cắt nhau D. MN song song với mp(DEF)
Lời giải chi tiết:
Ta có: (P)// AB & (P)∩(ABCD) ⇒ MM’ // AB ⇒ MM’ // EF (1)
Tương tự NN’ // EF ⇒ MM’ // NN’. Từ đó ta vẽ được các điểm M’, N’ như hình vẽ và quan sát thấy MNN’M’ mới là hình thang chưa thể là hình bình hành.
Dễ dàng quan sát thấy M’N’ // DF hoặc chứng minh được khẳng định đó như sau:
Từ (1), (2) ⇒ (MNN’M’) // (DEF) ⇒ MN // (DEF)
Chọn đáp án: D
